$p$-adic valores de puntos racionales en curvas elípticas

Question

La siguiente pregunta surgió en forma natural, mientras que el estudio diophantine ecuaciones: dada una curva elíptica $E$ de la forma $Y^2 + aY = X^3 +bX^2 + cX + d$ definido a lo largo del $\mathbb{Q}$, considerar el subconjunto $C \subseteq \mathbb{Q}$ de los números que aparecen en la primera o en la segunda coordenada de un punto racional en $E$.

Si asumimos que $E$ tiene un número infinito de puntos, $C$ es infinito. Me gustaría entender cómo 'grandes' $C$ puede conseguir, en particular: podemos elegir $E$ tal que $C$ ha ilimitado $p$-ádico de valor para todos los números primos $p$? Tal vez por lo menos podemos elegir $E$ tal que $C$ ha ilimitado $p$-ádico de valor para todos los números primos en un conjunto finito de números primos? Sé casi nada sobre el tema, por lo que los punteros que podría tener para los artículos o libros que estudian el conjunto de $C$ sería muy útil.

Answer 1

No estoy seguro de que cuando usted dice que no acotada $p$-ádico de valor (valor absoluto?) que quieres decir por encima o por debajo?

Aquí es algo que puede interesarle al menos. Siempre que $E(\mathbf Q)$ es infinito el conjunto $C$ siempre contendrá racionales con arbitrariamente grande, $p$-ádico valor absoluto, por lo que el denominador altamente divisible por $p$. De hecho, todas ellas proceden de la $x$ coordinar solos.

El truco aquí es el $p$-ádico de filtración en $E$, se puede definir para cualquier $p$

$$ E_n = \{P \in E(\mathbf Q_p) : v_p(x(P)) \le -2n \} $$

then this is a descending sequence of subgroups of $E(\mathbf Q_p)$ which we think of as the subgroups of $p$-adic points which are $p$-adically close to the point at infinity. For this sequence the magic is that we have

$$E(\mathbf Q_p)/E_1 \cong E(\mathbf F_p)$$

and

$$E_n/E_{n+1} \cong \mathbf F_p$$

as groups. For detail you can look at Husemoller's book chapter 14. The point is if $P \in E(\mathbf Q)$ is of infinite order then $(\#E(\mathbf F_p)) \cdot P \en E_1$ and moreover $p^n \cdot (\#E(\mathbf F_p)) \cdot P \en E_n$ so we have a point with large negative $p$-adic valuation.

And here is some Sage code demonstrating this because I like Sage code:

sage: E = EllipticCurve("37a1")
sage: E.rank()
1
sage: P = E.gens()[0]
sage: P
(0 : -1 : 1)
sage: P.order()
+Infinity
sage: E.ap(5)
-2
sage: 6 - E.ap(5) # this is the number of points over F_5
8
sage: 8*P
(21/25 : -56/125 : 1)
sage: 5*8*P
(263817293110494867593838666854208001/292736325329248127651484680640160000 : -34188880637325550305106055730237610829874076311530751/158385319626308443937475969221994173751192384064000000 : 1)
sage: (5*8*P)[0]
263817293110494867593838666854208001/292736325329248127651484680640160000
sage: ((5*8*P)[0]).valuation(5)
-4
sage: ((5^2*8*P)[0]).valuation(5)
-6
sage: ((5^3*8*P)[0]).valuation(5)
-8
sage: ((5^4*8*P)[0]).valuation(5)
-10

You should probably be a little careful with the definition of the filtration if $E$ has bad reduction at $p$ pero todavía debe trabajar (puedo mostrar un ejemplo de esto si te gusta).

Answer 2

Yo creo que la mayoría de sus preguntas pueden ser contestadas utilizando el material de Silverman "La Aritmética de curvas Elípticas'. La sección relevante para tus preguntas sobre el $p$-ádico de valoración de las soluciones racionales sería la sección sobre curvas elípticas sobre los campos locales.

Éstos son algunos aspectos destacados de la teoría: si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}_p$ (o de cualquier extensión finita de ese campo, pero si sólo estás interesado en $\mathbb{Q}$ estos es suficiente) definida por una ecuación de Weierstrass, hay una filtración de los subgrupos de $E(\mathbb{Q}_p)$: $$E(\mathbb{Q}_p)\supset E_0(\mathbb{Q}_p) \supset E_1(\mathbb{Q}_p) \supset E_2(\mathbb{Q}_p) \supset \cdots$$ con las siguientes propiedades:

• cada uno de los sucesivos cocientes es finito: más precisamente, $E_r(\mathbb{Q}_p)/E_{r+1}(\mathbb{Q}_p) \simeq (\mathbb{F}_p,+)$ si $r\geq 1$, $E_0(\mathbb{Q}_p)/E_1(\mathbb{Q}_p) \simeq \tilde{E}_{ns}(\mathbb{F}_p)$ donde $\tilde{E}_{ns}$ son los nonsingular puntos en la curva de $E$ 'reducido módulo p' (es decir, mirando a la ecuación de Weierstrass modulo $p$) y $E(\mathbb{Q}_p)/E_0(\mathbb{Q}_p)$ es trivial si $E$ tiene buena reducción (es decir, cuando $E$ modulo $p$ no tiene puntos singulares), pero puede ser un trivial (finito) grupo de al $E$ tiene mala reducción.
• si $p\geq 3$ luego hay un isomorfismo $E_1(\mathbb{Q}_p) \simeq (\mathbb{Z}_p,+)$ topológico de los grupos. Si $p = 2$ , a continuación, del mismo modo $E_2(\mathbb{Q}_2) \simeq (\mathbb{Z}_2,+)$.
• Para $r\geq 1$ podemos describir explícitamente $E_r(\mathbb{Q}_p)$ como $$E_r(\mathbb{Q}_p) = \left\{(x,y) \in E(\mathbb{Q}_p) \mid v(x) \leq -2r , v(y) \leq -3r \right\} \cup \{O_E\} $$ (donde $O_E$ es la identidad de $E$ es decir, el único punto en el infinito) y $$E(\mathbb{Q}_p) \setminus E_1(\mathbb{Q}_p) = \{(x,y) \in E\mid v(x),v(y)\geq 0 \}$$

Ahora para tus preguntas: si $P \in E(\mathbb{Q}_p)$ es de orden infinito y $r\geq 1$ entonces $n.[E(\mathbb{Q}_p):E_r(\mathbb{Q}_p)].P$ es de $E_r(\mathbb{Q}_p)$ para $n\geq 1$ y no la igualdad de $O_E$. De ello se sigue que para cada prime $p$ tenemos que en su notación $S _p =\{v_p(x) \mid x\in C\}$ nunca está delimitada por debajo de si el rango de $E$ es positivo. Parece que el conjunto $S_p$ debe estar delimitado por encima, pero no veo una inmediata argumento de por qué este es el caso. Espero que esto ayude.