Integral definida difícil $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} + \sin x\, dx$

Question

Llevo varios días intentando solucionar esta integral, pero sin éxito. No es de un libro de texto, sino un problema de reto que me dio un profesor. No busco que nadie me dé la solución, sino que me guíe en la dirección correcta.

El problema consiste en calcular la siguiente integral:

\begin{equation} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+2\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} + \sin x\, dx \end{equation}

Al abordar este problema por primera vez, intenté utilizar la identidad de la cofunción: \begin{equation} \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \end{equation}

La integral se convirtió entonces: \begin{equation} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+2\sin^2x} + \sin x\, dx \end{equation}

He intentado varias cosas a partir de este punto como usar las fórmulas \begin{equation} \sin^2x = \frac{1}{2}[1-\cos(2x)] \end{equation}

La integral se convirtió entonces:

\begin{equation} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{2-\cos(2x)} + \sin x\, dx \end{equation}

El problema es que he intentado varias vueltas (de las cuales no voy a publicar cada una) con identidades y otros métodos, pero parece que me encuentro con callejones sin salida. Además, quiero mencionar que estoy tratando de resolver esto utilizando sólo los métodos elementales. Sólo tengo experiencia hasta el cálculo II. Cualquier crítica o comentario constructivo será muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Como se ha dicho en los comentarios y respuestas, te enfrentas a integrales elípticas que no puedes evaluar fácilmente. $$\int_0^{\frac \pi 2}\sqrt{1+k \sin ^2(x)}\,dx=E(-k)$$ donde aparece la integral elíptica completa de segundo tipo.

Sin embargo, podemos construir aproximaciones bastante buenas. Os doy una que produje hace años (para valores bastante pequeños de $k$ ) utilizando aproximaciones de Padé construidas en $k=0$ .

$$E(-k) \simeq \frac \pi 2 \,\frac{1+\frac{39575 }{28464}k+\frac{20621} {37952}k^2+\frac{129235}{2428928}k^3 } {1+\frac{32459}{28464}k+\frac{34741 }{113856}k^2+\frac{79037 }{7286784}k ^3 }$$ que es bastante bueno para la gama $0\leq k \leq 4$ .

Utilizando $k=-2$ deberíamos obtener , como una aproximación, $\frac{5810969}{8357946}\pi\approx 2.18423$ mientras que el valor exacto sería $E(-2)\approx 2.18444$ .

Editar

La aproximación que escribí se hizo hace más de cuarenta años y fue, en su momento, un trabajo duro. Sólo por diversión, hice, después de contestar, una mejor que me llevó unos minutos .... gracias a un CAS. Es $$E(-k) \simeq \frac \pi 2 \,\frac{1+\frac{133542997 }{70902928}k+\frac{1325913585 }{1134446848}k^2+\frac{1210596065 }{4537787392}k^3+\frac{4808786003 }{290418393088} k^4} {1+\frac{115817265 }{70902928}k+\frac{915821721 }{1134446848}k^2+\frac{553597479 }{4537787392}k^3+\frac{777708891 }{290418393088}k^4 }$$ Utilizando $k=-2$ deberíamos obtener , como una aproximación, $\frac{214931493555 }{309110015222}\pi\approx 2.184424$ mientras que el valor exacto sería $E(-2)\approx 2.184438$ .

Answer 2

No se puede resolver la integral con métodos elementales. Se puede escribir en términos de una función especial llamada integral elíptica de segundo tipo $E(m)$ definido como

$$ E(m) = \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}x}\,\mathrm{d}x. $$

Esta función tiene una serie de potencias, pero esa serie también es difícil de derivar sin usar otras funciones especiales.