Se busca intuición: ¿Por qué definir integrales?

Question

En nuestro curso de análisis, que acabamos de definir los siguientes:

Deje $g := (g_1, \ldots, g_n): [a, b] \to \mathbb{R}^n$, donde $g_1, \ldots, g_n: [a,b] \to \mathbb{R}$ son integrables. Entonces llamamos a la integral de $g$ sobre $[a,b]$ \begin{equation*} \int_{a}^{b} g(t) \ dt := \begin{pmatrix} \int_{a}^{b} g_1(t) \ dt \\ \vdots \\ \int_{a}^{b} g_n(t) \ dt \end{pmatrix}. \end{ecuación*}

Me encontré con esta definición de nuevo en el comienzo de la teoría de la medida, cuando nos dijo:

En última instancia, deseamos funciones de integración de la $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, pero debido a la definición anterior podemos, sin pérdida de generalidad, restringimos al caso de $m = 1$.

Mi Pregunta ¿Qué es la intuición detrás de esta definición, ¿por qué tiene sentido, si se prefiere, "en un nivel más profundo"

Answer 1

La suma, la resta, la multiplicación escalar, escalar división, de los límites, de la diferenciación y de todo acto componente-sabio en vectores. Usted necesita una buena razón para hacer la integración es incompatible con los!

Para el "nivel más profundo": sin Embargo podemos definir la integración de vectores, queremos que sea:

1. Lineal, $\int(a+b)=\int a+\int b$
2. Covariante con espacio vectorial isomorphisms, $\int T f=T\int f$.
3. En consonancia con la costumbre de la incrustación de $\mathbb R$ en $\mathbb R^n$, $\int (f, 0, 0, \ldots)=(\int f, 0, 0, \ldots)$.

Estos axiomas de la fuerza para actuar componente sabio.

Answer 2

El Integral de Riemann, por ejemplo, se basa en sumas. Las sumas de los vectores se definen por componentes. Y diferentes normas en $\mathbb R$ son topológicamente equivalentes. Por lo tanto, esto es exactamente lo que terminaría de todas formas con las integrales de Riemann si las definiera por analogía en lugar de por componentes explícitamente.

Answer 3

En un nivel más general, teniendo en cuenta los conjuntos, la asignación de un producto $f:A\to B\times C$ es esencialmente realmente sólo dos de asignación de $f_B:A\to B$ e $f_C:A\to C$. Del mismo modo, la asignación de un discontinuo de la unión de conjuntos es de apenas dos funciones. Esto se extiende a los productos de más de dos cosas y, en particular, a las funciones de a $\mathbb R^n$. Este fenómeno justifica la reducción de mencionar. Es una categoría de observación válida en muchos contextos diferentes.

Answer 4

Tal vez me estoy perdiendo el punto de su búsqueda de la intuición, pero queremos definir las integrales componente-sabio, porque cada componente "debe ser independiente" de uno a otro. Habiendo $\mathbb{R}$ como codominio es realmente especial; cuando intenta mover hacia la $\mathbb{R}^m$ pierde la capacidad total de la orden las cosas de una manera natural, y luego, de su intuición geométrica sobre firmado áreas y cosas que están "bajo" en las curvas vuela por la ventana.

Así que ¿cómo podría conseguir alrededor de esto? Bueno, yo no voy a decir que no hay algunos muy astuto y brillante definición acechando por ahí, pero ¿por qué no acaba de sacar su codominio, hasta que cada pieza se ve como cosas que usted utiliza? Por qué reinventar la rueda cuando se trata de interpretaciones de lo que la suma de una extraña hyeprvolumes son cuando se puede simplemente repetir lo que ya sabemos sobre las múltiples dimensiones? Y volviendo a mi comentario anterior, ¿qué otra definición, nos encontramos con que es compatible con nuestra intution para el caso de $m=1$?

Answer 5

La idea de componente-sabio integrales tiene un concreto significado geométrico: descomponer una curva de la función mediante la proyección de que en los aviones, luego de tomar la (firmado) áreas de estas proyecciones en sus respectivos planos.

Por ejemplo, echemos un vistazo a una función v(t)=(x(t),y(t)). En la foto de abajo, los dos componentes de la integral de v es el área de la curva de color rojo en su plano horizontal y el área de la curva amarilla en su plano vertical.

Otra forma de definir la integral de v sería tomar la integral de las normas ||g(t)||, pero supongo componente sabio integrales tienen más respeto por la estructura y por lo tanto tienen más agradable propiedades algebraicas.

También podemos ver una interpretación física, para hacer esto aún más concreta. En el anterior, interpretar t como el tiempo, y v(t) como la velocidad de un objeto en movimiento dentro de algún plano, de modo que x(t) es su velocidad horizontal y y(t) es su velocidad vertical, en cualquier instante t. Entonces la integral de x es la distancia horizontal recorrida por el O, y la integral de y es la distancia vertical recorrida por S, por lo que el componente sabio integral de v es el 2D distancia recorrida por O. Así, con el componente de sabios integrales, la integral de la velocidad sigue siendo la distancia, incluso en los multidimensional de las situaciones.

(Ilustración producido gracias a la Octava y esta secuencia de comandos.)