Isomorfismo explícito $\tilde{H_n}(X)\simeq \tilde{H}_{n+1}(SX)$ .

Question

Sea $X$ sea un espacio topológico y $S:\mathbf{Top}\to \mathbf{Top}$ sea el functor de suspensión.

No es difícil demostrar utilizando, por ejemplo, la larga secuencia exacta de homología que $\tilde{H_n}(X)\simeq \tilde{H}_{n+1}(SX)$ (donde $\tilde{H_n}$ denota homología reducida).

Sin embargo, necesito

"construir mapas en cadena explícitos $f:C_n(X)\to C_{n+1}(SX)$ isomorfismos inductores $\tilde{H_n}(X)\to \tilde{H_{n+1}}(SX)$ "

(se trata del problema 21 de la sección 2.1 del libro de Hatcher).

Aquí está mi intento:

Defina $f:C_n(X)\to C_{n+1}(SX)$ como sigue. Si $\sigma:\Delta^n\to X$ es un singular $n$ -cadena, entonces su suspensión es $S\sigma:S\Delta^n\to SX$ .

Está geométricamente claro que $S\Delta^n$ es la unión de dos $n+1$ - simplex estándar, llámelos $\Delta^{n+1}_0$ y $\Delta^{n+1}_1$ identificado por una cara.

Sea $f(\sigma):=S\sigma|_{\Delta^{n+1}_1}-S\sigma|_{\Delta^{n+1}_0}$ . A continuación, amplíe $f$ linealmente a todos los $C_n(X)$ .

Un poco de manipulación demuestra que $f$ es un mapa en cadena.

Ahora el problema es: ¿cómo demostrar que $f_*:\tilde{H_n}(X)\to \tilde{H}_{n+1}(SX)$ es un isomorfismo?

Pensé que tal vez el homomorfismo de conexión $\partial:H_{n+1}(CX,X)\to \tilde{H}_n(X)$ podría ayudar. Desde $(CX,X)$ es un buen par, existe un isomorfismo $\varphi:\tilde{H_{n+1}}(CX/X)=\tilde{H}_{n+1}(SX)\to H_{n+1}(CX,X)$ .

Pero ¿cómo demostrar que $\partial \varphi$ es la inversa de $f_*$ ?

O quizá sea un planteamiento terrible... pero se me han acabado las ideas.

Answer 1

Creo que tu mapa funcionará, pero aquí va mi sugerencia.

Trabajamos con grupos relativos en todas partes, ya que queremos que la conclusión se mantenga para la homología reducida.

Considere los mapas

$$C_*(X, *) \to C_{*+1}(CX, X) \to C_{*+1}(SX, *)$$

El primer mapa se define tomando un simplex $\Delta^n \to X$ al simplex $\Delta^{n+1} = C\Delta^n \to CX$ . El segundo mapa es el mapa de colapso $(CX, X) \to (CX/X, X/X) = (SX, *)$ . El segundo mapa es automáticamente un mapa en cadena, y debería ser fácil comprobar que el primer mapa también lo es.

Consideremos la secuencia homológica exacta larga del triple $(CX, X, *)$ entonces debería ser fácil ver, simplemente calculando el mapa que sigue directamente las cadenas alrededor, que el mapa de conexión $\delta: H_{*+1}(CX, X) \to H_*(X, *)$ es inverso al mapa inducido sobre la homología $H_*(X, *) \to H_{*+1}(CX, X)$ .

Usando la escisión o lo que sea, puedes probar que el mapa $C_{*+1}(CX, X) \to C_{*+1}(SX, *)$ induce un isomorfismo en la homología. Esto demuestra que la composición anterior hace el trabajo.

Creo que si te lo curras un poco puedes demostrar que este mapa es homotópico al mapa que has construido, pero esto me parece más fácil.