Actualmente estoy estudiando "Elementos de Álgebra Abstracta" de Allan Clark. En uno de los ejercicios(26) del libro pregunta: "Demuestre que una simetría de un triángulo equilátero ABC está completamente determinada por la forma en que transforma los vértices".
No entiendo qué es exactamente lo que tengo que mostrar.
Gracias de antemano
Tienes que probar dos cosas:
1) dadas dos simetrías $f,g$ del triángulo $ABC$ , si $f(A)=g(A)$ , $f(B)=g(B)$ y $f(C)=g(C)$ , entonces $f$ y $g$ tienen la misma simetría.
y
2) dado cualquier permutación de los vértices $A,B,C$ allí existe una simetría del triángulo que permuta los vértices de la forma dada.
Gracias por su respuesta. Tengo una pregunta más para una mayor aclaración: "¿"1)" no es directamente obvio? Lo que quiero decir es que, para cada elemento en el dominio f y g mapa de ellos al mismo elemento.por lo tanto, estas dos funciones(simetrías) son iguales , por definición.
Puede demostrar que una simetría que tiene $3$ puntos fijos no lineales es la identidad
Para hacer ese nombre $A,B,C$ estos puntos y demostrar que la simetría preservará los lados del triángulo $ABC$ Entonces, para un punto arbitrario $M$ una de las líneas $AM,BM,CM$ tendrá un punto común con un lado del triángulo,por lo que esta línea también será preservada por la simetría,por lo tanto $f(M)=M$
Ahora, para dos simetrías cualesquiera $f,g$ que son: $f(A)=g(A),f(B)=g(B),f(C)=g(C)$ pour le $f\circ g^{-1}$ tendrá la propiedad anterior por lo que $f\circ g^{-1}=id\Rightarrow f=g$
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