Es Matrix $A^2$ invertible si $A$ ¿es invertible?

Question

Quiero decir que elevar al cuadrado es una forma de escalar, por lo que debería ser cierto; sin embargo, no le encuentro sentido y veo claramente por qué.

El problema es que, si bien es una forma de escalar, si pensamos en una matriz como una lista de coeficientes de variables de un sistema de ecuaciones, entonces los coeficientes se están multiplicando entre todas las variables.

Por ejemplo, con el simple escalado por un único valor de una matriz, un sistema de ecuaciones conservaría las mismas soluciones exactas que tenía antes del escalado. Sin embargo, al elevar la matriz al cuadrado (lo he intentado con un ejemplo concreto), las soluciones difieren en la versión elevada al cuadrado del sistema.

Answer 1

Sí. Además $(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2.$ Tenga en cuenta que

$$(A^{-1})^2A^2=A^{-1}A^{-1}AA=A^{-1}IA=A^{-1}A=I.$$

Answer 2

Sí. Una matriz cuadrada $A$ es invertible si $\det A \neq 0$ . Si $A$ es invertible, entonces $\det A^2 = \det A \cdot \det A \neq 0$ Así que $A^2$ es invertible.

Answer 3

De forma más general, el producto de dos invertibles $n\times n$ es invertible:

si $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices invertibles, entonces $AB$ es invertible y $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

La prueba consiste simplemente en comprobar que $(AB)(B^{-1}A^{-1})=I_n$ (el $n\times n$ matriz de identidad): $$ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(B(B^{-1}A^{-1}))= A((BB^{-1})A^{-1}))=A(I_nA^{-1})=AA^{-1}=I_n $$ Del mismo modo (aunque no es realmente necesario) se puede demostrar que $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I_n$ .