Ciclos derivados de longitud 8

Question

Digamos que yo quiero encontrar derivado de los ciclos, es decir, un grupo de funciones $\langle f_0, f_1, \ldots, f_{n-1} \rangle$ donde ${f_0}^{(p)}(x)={f_{p\,\%\,n}}(x)$ donde $\%$ es el operador de módulo.

• Para $n = 1$, tenemos que la función exponencial, $f_0 = ae^{x+k}$ arbitrarias $a$$k$.
• Para $n = 2$, tenemos dos de estos exponenciales, $f_0 = ae^{x+k} + be^{-x-k}$ arbitrarias $a$, $b$, y $k$.
• Para $n = 4$, una solución obvia es $\langle a\sin(x + k), a\cos(x + k), -a\sin(x + k), -a\cos(x + k) \rangle$

... pero espera! Eso es sólo más exponenciales!

$$ f_0 = ae^{x + k} + be^{ix + ik} + ce^{-x - k} + de^{-ix-ik} $$

da la solución general, para arbitrario $a$, $b$, $c$, $d$, y $k$ (descartar los resultados cuando se vuelven complejas, lo único que importa $f_0: \Bbb R \to \Bbb R$).

No parece ser algo que va en al $n$ es una potencia de 2, entonces, ¿qué funciones podría ser un derivado del ciclo de con $n = 8$? Ya que en nuestro exponente, hemos progresado de "una dirección de número" ( $1$ ) "dos direcciones de número" ( $\pm1$ ) "cuatro direcciones de número" ( $\pm1$ $\pm i$ ), tendremos que usar un número de sistema que tiene 8 direcciones?

Answer 1

Si $r$ es un número complejo satisfacción $r^8=1$, entonces las partes real e imaginarias de $f(x)=e^{rx}$ tendrá derivados repetidas en ciclos de ocho.

$r=(1+i)/\sqrt2$ Obtenemos $$ f (x) = e ^ {x / \sqrt2}(\cos\frac x{\sqrt2}+i\sin\frac x{\sqrt2}). $$

Usted puede obtener cualquier período $n$ escogiendo $r=\cos(2\pi/n)+i\sin(2\pi/n)$ $$f(x)=e^{x\cos\frac{2\pi}n}\cos(x\sin\frac{2\pi}n).$ $

Answer 2

Comencemos en los números complejos.

El $n$-th derivado $\exp(r x)$ es $r^n \exp(r x)$. Desea $r^n= 1$. Lo que necesitas que $r$ es una $n$-ésima raíz de la unidad.

Luego puede combinar las funciones complejas de distintas raíces de la unidad para funciones reales.

Esto no sólo funciona para las potencias de dos.