Conjetura:$N=x_1^2+x_2^2-y^3$ tiene soluciones enteras para todos$N$, con$x_1>0$,$x_2>0$ y$y>0$

Question

De fondo.

He construido algo de código para el Algoritmo para la ecuación de diophantine y decidió volver a utilizarlo para investigar $N=x_1^2+x_2^2+z^3$ $z$ entero. Valores negativos para $z$ parecía producir abundante pequeño $N$ de los valores, por lo que decidí concentrar mis esfuerzos aquí, y cambió $z$$-y$.

Pregunta.

¿Alguien puede probar o refutar esta hipótesis, o que me ayude a encontrar un método para hacer esto, por favor? Yo también agradecería cualquier información útil.

Mis esfuerzos.

Menos de nueve minutos de fuerza bruta para encontrar una solución para cada una de las $N=-10^6$$10^6$.

He buscado de todo en la red para encontrar soluciones similares. Tal vez un método basado en este enlace http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/Lagrange.pdf haría?

Ejemplos. $$0=2^2+11^2-5^3$$ $$11=6^2+10^2-5^3$$ $$-3=5^2+6^2-4^3$$ $$999999=40^2+1718^2-125^3$$ $$-999999=8^2+1365^2-142^3$$

Answer 1

Se trata de un problema planteado por Noam Elkies y Irving Kaplansky en el enero de 1995, M. A. A. Mensuales. No pedimos que el $y$ ser positivo, pero que es cómo se sale de todos modos, con muy pocas excepciones para la variable $x$ por debajo de ser, por ejemplo, $0,1,2.$ Estos pueden ser fijados por una búsqueda rápida.

Más tarde, Kap y publiqué un pequeño artículo donde nos señaló que $x^2 + y^2 - z^9$ deja de representar un número infinito de números El más cercano en busca de la cosa a su original que deja de representar un número infinito de números serían $x^2 + 27 y^2 - 7 z^3.$

Aquí es una solución de Andrew Adler, en junio-julio de 1997 tema: $$ 2x+1 = \left( x^3 - 3 x^2 + x \right)^2 + \left(x^2 - x - 1 \right)^2 -\left( x^2 - 2 x\right)^3 $$ $$ 4x+2 = \left(2 x^3 - 2 x^2 - x \right)^2 + \left(2 x^3 - 4 x^2 - x + 1 \right)^2 -\left( 2 x^2 - 2 x - 1 \right)^3 $$ $$ 8x+4 = \left(x^3 + x + 2 \right)^2 + \left(x^2 - 2x - 1 \right)^2 -\left(x^2 + 1 \right)^3 $$ $$ 16x+8 = \left( 2 x^3 - 8 x^2 + 4 x + 2 \right)^2 + \left(2 x^3 - 4 x^2 - 2 \right)^2 -\left(2 x^2 - 4 x \right)^3 $$ $$ 16x = \left(x^3 + 7 x - 2 \right)^2 + \left(x^2 + 2 x + 11 \right)^2 -\left( x^2 + 5 \right)^3 $$

Answer 2

Esto es sólo un seguimiento. He mencionado que el polinomio $x^2 + 27 y^2 - 7 z^3$ deja de representar una infinidad de números. Me puse un poco menos intuitiva que la versión en Qué números están íntegramente representado por $4 x^2 + 2 x y + 7 y^2 - z^3$

Mientras tanto, aquí están los números (entre ciertos límites) creo que no puede ser integralmente representado por $x^2 + 27 y^2 - 7 z^3.$ La parte buena es cómo vienen en $\pm$ pares, algunos $\pm 14 m^3$ y algunos $\pm 224 n^3.$ Mientras tanto, todo esto está basado sobre cúbicos de reciprocidad y el cúbicos de caracteres de dos, que es en Irlanda y Rosen, por ejemplo. Mi propia prueba de que las cosas funcionan de esta manera es largo, largo, largo.

    NOT x^2 + 27 y^2 - 7 z^3
 -1113098 =  -1 * 2 * 7 * 43^3
 -1100512 =  -1 * 2^5 * 7 * 17^3
 -964894 =  -1 * 2 * 7 * 41^3
 -417074 =  -1 * 2 * 7 * 31^3
 -341446 =  -1 * 2 * 7 * 29^3
 -298144 =  -1 * 2^5 * 7 * 11^3
 -218750 =  -1 * 2 * 5^6 * 7
 -170338 =  -1 * 2 * 7 * 23^3
 -68782 =  -1 * 2 * 7 * 17^3
 -28000 =  -1 * 2^5 * 5^3 * 7
 -18634 =  -1 * 2 * 7 * 11^3
 -1750 =  -1 * 2 * 5^3 * 7
 -224 =  -1 * 2^5 * 7
 -14 =  -1 * 2 * 7
 14 = 2 * 7
 224 = 2^5 * 7
 1750 = 2 * 5^3 * 7
 18634 = 2 * 7 * 11^3
 28000 = 2^5 * 5^3 * 7
 68782 = 2 * 7 * 17^3
 170338 = 2 * 7 * 23^3
 218750 = 2 * 5^6 * 7
 298144 = 2^5 * 7 * 11^3
 341446 = 2 * 7 * 29^3
 417074 = 2 * 7 * 31^3
 964894 = 2 * 7 * 41^3
 1100512 = 2^5 * 7 * 17^3
 1113098 = 2 * 7 * 43^3
Thu Feb 15 12:59:32 PST 2018
    NOT x^2 + 27 y^2 - 7 z^3