¿Qué es la $$\int \big((1+\cos(x))\sin(x)\big)^2dx$$ ?
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Utilice $$\begin{align}(1 + \cos t)^2\sin^2 t &= \sin^2 t + 2\sin^2 t \cos t + \sin^2 t \cos^2 t\\ &=\frac 12 - \frac 12 \cos 2t + 2\sin^2 t \cos t + \frac 18 - \frac 18 \cos 4t \\ &=\frac 58 - \frac 12 \cos 2t + 2\sin^2 t \cos t - \frac 18 \cos 4t \end{align}$$
ahora podemos integrar $$\int (1 + \cos t)^2\sin^2 t\, dt = \frac 58 t - \frac 14 \sin 2t + \frac 23 \sin^3 t - \frac 1{32} \sin 4t + C $$
egreg
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Utilice $\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2$ , $\sin x=-i(e^{ix}-e^{-ix})/2$
Usted obtiene $$ -\frac{1}{16}\int\bigl((2+e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})\bigr)^2\,dx $$ Simplifiquemos el producto interno: $$ (2+e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})= 2e^{ix}-2e^{-ix}+e^{2ix}-1+1-e^{-2ix} $$ y elevándolo al cuadrado da $$ 4e^{2ix}+4e^{-2ix}+e^{4ix}+e^{-4ix}-8+4e^{3ix}-4e^{-ix} -4e^{ix}+4e^{-3ix}-2 $$ que podemos reordenar como $$ e^{4ix}+e^{-4ix}+4e^{3ix}+4e^{-3ix}+4e^{2ix}+4e^{-2ix}-4e^{ix}-4e^{-ix}-10 $$ o, volviendo al coseno, $$ 2\cos4x+8\cos3x+8\cos2x-8\cos x-10 $$ por lo que la integral es $$ -\frac{1}{16}\int( 2\cos4x+8\cos3x+8\cos2x-8\cos x-10 )\,dx $$ y obtenemos $$ -\frac{1}{32}\sin 4x-\frac{1}{6}\sin3x-\frac{1}{4}\sin2x+\frac{1}{2}\sin x+\frac{5}{8}x+C $$
