Evaluar $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$

Question

Tengo una pregunta para calcular la integral indefinida: $$\int \sqrt{1-x^2} dx $$ utilizando la sustitución trigonométrica.

Utilizando la sustitución $ u=\sin x $ y $du =\cos x\,dx $ la integral se convierte en: $$\int \sqrt{\cos^2 u} \, \cos u \,du = \int \|{\cos u}\| \cos u\, du $$

P: (parte a) ¿En qué momento (si es que lo es) se puede decir que es el equivalente a ? $$\int \cos^2 u\, du = \int \frac {1 + \cos 2u} {2} du$$ (esto es fácil de resolver, por cierto).

En las conferencias, se dejó muy claro que en ciertos intervalos (por ejemplo $ 0 \le u \le \pi/2$ ) que $cos u$ es +ve y es seguro hacerlo, pero en la forma indefinida, el mismo argumento no se puede hacer (por ejemplo $ \pi/2 \le u \le n\pi$ ).

P: (parte b) ¿Es seguro declarar que está bien debido a la naturaleza de la integral original, que, utilizando un sqrt() debe devolver un número +ve? Se podría argumentar entonces que fue la sustitución la que añadió artificialmente un aspecto -ve...

¿Alguna sugerencia sobre cómo proceder?

PD: Este es un curso de cálculo de 1er año y estoy revisando para los exámenes ;)

Answer 1

Desde $x$ oscila entre $-1$ a $1$ y está utilizando la sustitución $x=\sin(u)$ puede hacer esta sustitución con $u\in[-\pi/2,\pi/2]$ y luego $\cos(u)$ es inequívocamente positivo.

Answer 2

Usted ha recibido una buena respuesta que todos concluyen que $\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$ .

Pero, de momento, vamos a suponer que sigue ignorando si es seguro o no. Entonces, escribamos $$\int \sqrt{1-x^2} dx=\pm \int \cos^2 u\, du =\pm \int \frac {1 + \cos 2u} {2} du=\pm \Big(\frac{u}{2}+\frac{1}{4} \sin (2 u)\Big)$$ Pero ahora, consideremos la integral definida $$\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx=\pm \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 u\, du =\pm \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac {1 + \cos 2u} {2} du=\pm \frac{\pi}{4}$$ Pero ahora, considera el área entre la curva $y=\sqrt{1-x^2}$ y el $x$ eje. Toda la curva está por encima del eje y el área es entonces positiva. Por lo tanto, $\pm$ debería sustituirse simplemente por $+$ .

¿Esto aclara las cosas?

Answer 3

Obsérvese que hay una diferencia entre la sustitución tal y como se aprende inicialmente (dejemos $u=g(x)$ y lo que en la OP se llama "sustitución trigonométrica". Este último proceso, cuando uno se siente pedante, se llama en realidad sustitución trigonométrica inversa .

En el ejemplo que estamos comentando, la sustitución "realmente es" deja $u=\arcsin x$ . Así que $u$ vive naturalmente en el intervalo $[-\pi/2,\pi/2]$ y por lo tanto $\cos u$ es no negativo.

Answer 4

Sugerencia: primero integra por partes para obtener,

$$\int\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x.$$

Ahora intenta la sustitución trigonométrica.

Answer 5

Para responder a tu pregunta: sí, es seguro y no importa realmente. Cuando haces la sustitución trigonométrica en tu curso de cálculo de primer año, siempre estás asumiendo que $\cos$ es positivo como resultado que puedes hacer:

$$\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$$

y no tener ningún problema. Además, ten en cuenta lo que ha dicho @spencer; sea cual sea tu respuesta final, sólo tienes que encontrar su derivada y demostrar que tienes razón o no.

Buena suerte en los exámenes.