Estructura de $x^2 + xy + y^2 = z^2$ forma cuadrática entera

Question

Los triples pitagóricos $x^2 + y^2 = z^2$ puede resolverse en números enteros utilizando la parametrización racional de las soluciones de $x^2 + y^2 = 1$ .

Pasa por $(1,0)$ , entonces considere la línea $y = -k (x - 1)$ para que $x^2 + k^2(x-1)^2 = 1$

Obtenemos $(1+ k^2 )x^2 - 2k^2 x + k^2 = 1$ o $x = \frac{k^2-1}{k^2+1}$ y $y=\frac{-2k}{k^2+1}$ y $z=1$

A continuación, establezca $k= m/n$ , para $(x,y,z) = (k^2-1,2k,k^2+1)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$

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Lo que ocurre con los triángulos de 60 grados $x^2+xy+y^2 = z^2$ ? Podríamos buscar soluciones racionales para

$x^2 + xy + y^2 = 1 $ y $(1,0)$ funciona de nuevo. Intersección con la línea $y= k (x-1)$ ...

obtener soluciones enteras: $(m^2-n^2, -m^2+2mn, m^2 - m n + n^2)$ Una derivación similar se obtuvo anteriormente en math.StackExchange

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En el caso del triple pitagórico podemos construir nuevas soluciones $(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$ de los antiguos utilizando los mapas

$$ (m,n) \mapsto (2m-n,m) \text{ or } (2m+n,m) \text{ or } (m+2n,n)$$

¿Puedo encontrar algo similar a la Árbol triple pitagórico para esta forma cuadrática, $x^2 + xy + y^2 = z^2$ ?

Answer 1

Claro, sólo buscas generadores de $O(f,\mathbb{Z})$ , donde $f(x,y,z)=x^2+xy+y^2-z^2$ es una forma cuadrática en 3 variables. Como $f$ es isótropo, será un grupo aritmético fucsiano no uniforme, conmensurable con $PSL_2(\mathbb{Z})$ . Se puede empezar a buscar generadores encontrando vectores $(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3$ tal que $f(x,y,z)=1, 2$ . Las reflexiones en tales vectores generarán un subgrupo reflexivo, que se puede encontrar mediante el algoritmo de Vinberg. Si este subgrupo es de índice finito, entonces habrás encontrado algo análogo a los generadores triples pitagóricos. Si no, habrá que buscar otros generadores. Normalmente, también puedes incluir reflexiones en vectores de la forma $f(x,y,z)=-1,-2$ que dan rotaciones del plano hiperbólico $f(x,y,z)=-1$ hasta $\pm 1$ . Si este grupo es reflexivo, aparecerá en algún lugar de La lista de Daniel Allcock.

Answer 2

En general, esta ecuación tiene muchas fórmulas para la solución. Porque es simétrica.

Escribir la fórmula puede ser útil para alguien. la ecuación:

$Y^2+aXY+X^2=Z^2$

Tiene una solución:

$X=as^2-2ps$

$Y=p^2-s^2$

$Z=p^2-aps+s^2$

más:

$X=(4a+3a^2)s^2-2(2+a)ps-p^2$

$Y=(a^3-8a-8)s^2+2(a^2-2)ps+ap^2$

$Z=(2a^3+a^2-8a-8)s^2+2(a^2-2)ps-p^2$

más:

$X=(a+4)p^2-2ps$

$Y=3p^2-4ps+s^2$

$Z=(2a+5)p^2-(a+4)ps+s^2$

más:

$X=8s^2-4ps$

$Y=p^2-(4-2a)ps+a(a-4)s^2$

$Z=-p^2+4ps+(a^2-8)s^2$

Para el caso particular: $Y^2+XY+X^2=Z^2$ Puedes dibujar más fórmulas.

$X=3s^2+2ps$

$Y=p^2+2ps$

$Z=p^2+3ps+3s^2$

más:

$X=3s^2+2ps-p^2$

$Y=p^2+2ps-3s^2$

$Z=p^2+3s^2$

En la ecuación: $X^2+aXY+bY^2=Z^2$ siempre hay una solución y una de ellas es bastante sencilla.

$X=s^2-bp^2$

$Y=ap^2+2ps$

$Z=bp^2+aps+s^2$

$p,s$ - enteros nos pidieron.