Probabilidad de dibujo todos "calcetines" de un determinado color de un cajón, dado cierto número de intentos

Question

Vamos a hablar de "calcetines".

Decir que tengo 7800 calcetines en un cajón (es un gran cajón), 800 de los cuales son de color rojo y 7000 de los cuales son de color negro.

Si me tire al azar 1300 calcetines en el cajón, ¿cuál es la probabilidad de que voy a dibujar CADA UNO de los 800 calcetines rojos?

Me doy cuenta de que hay un número de temas similares, y disculpas si este es repetitivo, he buscado y no pudo encontrar una situación bastante similar que me permita trabajar a través de esto por mi cuenta.

Muchas gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Para un "exacto" de respuesta, tenga en cuenta que hay $\binom{7800}{1300}$ maneras de elegir los calcetines, todos igualmente probables.

Hay $\binom{800}{800}\binom{7000}{500}$ formas para elegir a todos los rojos y $500$ de los negros. Divida.

La "práctica", la respuesta es que la probabilidad es prácticamente $0$.

Comentario: Wolfram Alpha da que la probabilidad es de un poco menos de $1.5\times 10^{-744}$. Ciertamente pequeño. Es más probable ganar el gran premio en la lotería $80$ semanas en una fila.

También podemos calcular a mano. Ue el hecho de que $\binom{n}{r}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}$. Encontramos que la probabilidad es $$\frac{(1300)(1299)\cdots (801)}{(7800)(7999)\cdots (7001)}.$$ Tenga en cuenta que la relación de los dos primeros términos correspondientes, $1300$$7800$$\frac{1}{6}$, y luego disminuye. Así que nuestra probabilidad es inferior a $(1/6)^{800}$. Para ponerlo en términos de dados, nuestra probabilidad es menor que la probabilidad de lanzar una feria de die $800$ veces y obtener un $6$ cada vez.