Sobre la intersección de cualquier familia de conjuntos conexos

Question

Sea $(E,d)$ un espacio métrico. Decimos que $E$ es un espacio conexo si los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados (conjuntos clopen) son $E$ y el conjunto vacío. Un subconjunto de $E$ es conexo si es un subespacio conexo de $E$ . Sea $\{C_i\}_{i\in I}$ una familia de subconjuntos conexos de $E$ . Es $$\bigcap_{i\in I} C_i$$ un subconjunto conexo de $E$ ?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

[Lo siento, ya debería saber que debo dejar las respuestas como respuestas, no como comentarios].

Una vez más:

Intente intersecar un círculo y una línea en $\mathbb{R}^2$ .