Sé cómo probar que si $\alpha_1, ..., \alpha_n$ son algebraicas en $K$, $K[\alpha_1, ..., \alpha_n]$ es un campo (es decir, $K[\alpha_1, ..., \alpha_n]=K(\alpha_1, ..., \alpha_n)$).
Sé también lo contrario es cierto para $n=1$, y también sé cómo demostrarlo.
Sin embargo, estoy teniendo verdaderos problemas para lidiar con el caso de $n\geq 2$.
He intentado utilizar la misma estrategia con $n=1$, lo que implica la surjective homomorphism $\psi:K[X]\to K[\alpha]$ $F \mapsto F(\alpha)$ y el hecho de que $K[X]$ es un director ideal de dominio. Pero eso no funciona con una similar mapa de $\psi:K[X_1, ..., X_n]\to K[\alpha_1, ..., \alpha_n]$ desde $K[X_1, ..., X_n]$ no es un dominio principal.
No podía refutar. Traté de encontrar un pequeño ejemplo con $K=\mathbb{R}$$n=2$, pero también no podía entenderlo.
Alguna idea? Gracias!
