Si una función holomórfica$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ está delimitada, es decir,$|f| \lt A$ para alguna constante$A$ para todo el dominio de$f$, entonces$f$ es constante según el teorema de Liouville.
¿Significa esto necesariamente que cualquier función holomórfica no constante tiene todos los$\mathbb{C}$ como su codominio?
Otra forma de expresarlo: ¿la ecuación$f(z) = v$ tiene una solución en$\mathbb{C}$ para cualquier$v \in \mathbb{C}$?
Casi, pero no del todo. El ejemplo $f(z) = e^z$ muestra que no existen constante de la totalidad de las funciones que omitir un valor. Sin embargo, eso es lo más que puede ser el caso, por Picard (poco) teorema, toda una función que omite (al menos) dos valores es constante.
Desde una perspectiva superior, Picard del teorema es una consecuencia del teorema de uniformización (junto con el teorema de Liouville), el universal (holomorphic) cubrimiento del plano con dos puntos de quitar es el de la unidad de disco, de modo que toda una función que omite dos valores pueden ser elevados a toda una holomorphic función con valores en la unidad de disco, por lo tanto la elevación es constante, y por lo tanto la función en sí.
Por supuesto Picard del teorema puede ser probado sin el poder de la uniformidad teorema. (Es también una consecuencia de Picard del gran teorema; deje $z_0$ ser esencial a la singularidad de $f$, $f$ asume cada valor complejo, con una excepción, infinitamente a menudo en cada perforado barrio de $z_0$.)
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