Prueba sin fuerza bruta de la propiedad tangente de la parábola

Question

Estoy trabajando a través de un clásico libro de Cálculo (Morris Kline), y uno de los problemas es:

Demostrar que el pie de la perpendicular desde el foco a cualquier tangente de una parábola se encuentra en la tangente en el vértice.

Básicamente, es como decir que si la parábola $y=x^2$ tiene una recta tangente T en el punto de $P$, y se dibuja una línea de $L$ perpendicular a $T$ que pasa por el foco $F$, $T$ cumple con $L$ a un punto en el $y=0$.

Me las arreglé para probar esto:

1. El cálculo de la ecuación de $T$ (basado en la ladera de $y'$ y el punto de $P$)
2. El cálculo de la ecuación de $L$ (basado en la ladera de $\frac{-1}{y'}$ y el punto de $F$)
3. Poner a $y=0$ en ambas ecuaciones y resolviendo $x$
4. Observar que ambos tienen el mismo $x$ $y=0$ y por lo tanto se reúnen en el $x$ eje.

Sin EMBARGO, esto parece como una fuerza bruta enfoque. Es casi como si me estafaron o me simulado en el equipo con $1000$ puntos y se determina que es así. Yo realmente no entiendo por QUÉ estos $2$ líneas deben cumplir de esta manera.

¿Hay algún tipo de motivos geométricos o intuitiva de la prueba?

Answer 1

Supongamos que tenemos una parábola $P$ con foco $F$ ad directriz $l$ (de modo que $P$ es el conjunto de puntos equidistantes a$F$$l$), y deje $A$ ser un punto de la parábola, y $A'$ ser la proyección de $A$ a $l$.

Observe que la bisectriz del intervalo de $FA'$ intersecta $P$ $A$ (por la definición, como la distancia de la $A$ $A'$es la distancia de$A$$l$), y no se cruzan $P$ en cualquier otro punto: si lo hiciera, tendríamos, entre los dos puntos de intersección, otro punto en el que está más cerca de a $A'$ (y, por tanto, a $l$) que a $F$. Llegamos a la conclusión de que la bisectriz es, de hecho, la tangente a$P$$A$: las únicas líneas que se cruzan la parábola en exactamente un punto son las tangentes y las líneas verticales, y claramente la bisectriz no es vertical. Cómo probaría depende de cómo se defina la tangente, exactamente, pero creo que la mejor manera sería mostrar que para cualquier línea a través de $P$ con una pendiente distinta de la vertical y tangencial, usted puede encontrar una secante con esa pendiente.

Ahora, considere el triángulo $FAA'$, y denotan por $B$ el punto medio de la $FA'$. Observe que debido a que $FAA'$ es isósceles, $FB$ es perpendicular a $BA$, que es la tangente a $P$$A$, por lo que es suficiente para demostrar que $B$ se encuentra en la tangente en el vértice de $P$.

A ver esa última parte, observe que si usted dibuja una línea de $l'$ paralelo a $l$ a través de $B$, se obtiene una recta cuya distancia de $F$ es la mitad de la distancia de $F$ $l'$(por la intersección teorema, debido a $B$ es el bisetor de $FA'$ $A'$ se encuentra en $l$), por lo $l'$ es sólo la tangente a $P$ en el vértice.