Cómo probaría usted que $2^{50} < 3^{33}$ sin calcular directamente los valores

Question

¿Podría generalizar la pregunta y conseguir algo en la línea de $n^{50}

Answer 1

\begin{align} 3^2=2^3+1\quad&\Leftrightarrow\quad \underbrace{(3^2)^{17}}_{3^{34}}=(2^3+1)^{17}=[\text{binomial}]=2^{51}+17\cdot 2^{48}+\text{positive}\quad\Rightarrow\quad \\ &\Rightarrow\quad 3\cdot 3^{33}>2\cdot 2^{50}+\frac{17}{4}\cdot 2^{50}>3\cdot 2^{50}. \end{align}

Answer 2

$ 2^{11} = 2048

$ 2^{6} = 64

Answer 3

Los métodos dados en las otras respuestas son todos muy complicado. Además, como lo Hizo señala en un comentario todos ellos dependen de hechos que no son, en principio, menos compleja que la instrucción que se debe probar. El siguiente método es bastante simple y responde a la petición sin avanzado de la teoría de lo que sea y "sin el cálculo de los valores", como lo requiere:

Tomar un montón de frijoles rojos de tamaño $2^{50}$, y un montón de frijoles de tamaño $3^{33}$. Repetidamente quitar un grano de cada pila hasta que el rojo de la pila se ha agotado. En ese punto, algunos frijoles permanecerá, y que la demanda está probado.

Answer 4

La forma más fácil es derivar la desigualdad de los más pequeños. Primero usted calcular $$2^3

Answer 5

$3^7>2^{11}$.

Así, $3^{35}>2^{55}$ y desde $2^5>3^2$, hemos terminado!