Supongamos que $X_t$ es un movimiento browniano con $X_0 \sim u_0$ . ¿Cuál es la densidad de probabilidad de $X_t$ ? (ecuación del calor)

Question

Supongamos que $u_0(x) = 2x$ para $0 \leq x \leq 1$ y $u_0(x)=0$ de lo contrario. Supongamos que $X_t$ es un movimiento browniano con $X_0 \sim u_0$ . ¿Cuál es la densidad de probabilidad de $X_t$ ?

Desde $X_t$ es un movimiento browniano, la densidad debe satisfacer la ecuación del calor $$\partial_t u = \frac{1}{2} \partial_x^2 u .$$ La primera parte de la pregunta nos da las condiciones iniciales para la ecuación del calor $u_0(x) = 2x$ para $0 \leq x \leq 1$ y $u_0(x)=0$ de lo contrario.

Creo que el problema se reduce a resolver la ecuación del calor para esta condición inicial. ¿Cómo se haría esto?

Answer 1

Si $(B_t^x)_{t \geq 0}$ es un movimiento browniano iniciado en $x \in \mathbb{R}^d$ entonces la densidad de $B_t^x$ viene dada por

$$p_t^x(y) = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \exp \left(- \frac{|y-x|^2}{2t} \right).$$

Usando la medida de Dirac podemos reescribir esto como sigue:

$$p_t^x(y) = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \int \exp \left(- \frac{|y-z|^2}{2t} \right) \delta_x(dz)$$

Tenga en cuenta que $\delta_x$ es la distribución inicial del movimiento browniano $(B_t^x)_{t \geq 0}$ . Si sustituimos $\delta_x$ por alguna distribución general, digamos $\mu$ obtenemos

$$p_t^{\mu}(y) = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \int \exp \left(- \frac{|y-z|^2}{2t} \right) \, \mu(dz).$$

A grandes rasgos, esto significa que mezclamos las densidades $(p_t^x)_{x \in \mathbb{R}^d}$ de acuerdo con nuestra distribución inicial dada. En particular, si $\mu(dz) = u_0(z) \, dz$ para una cierta densidad $u_0$ tenemos

$$p_t^{\mu}(y) = \frac{1}{(2\pi t)^{d/2}} \int \exp \left(- \frac{|y-z|^2}{2t} \right) u_0(z) \, dz.$$

Un cálculo sencillo muestra que esta función satisface efectivamente la ecuación del calor. Además, se puede demostrar que $p_t^{\mu}(y) \to u_0(y)$ como $t \to 0$ . Obsérvese que la densidad $(p_t^{\mu})$ es la convolución de la distribución inicial y el núcleo de calor.

Este es el enfoque probabilístico. El enfoque más popular para resolver la ecuación del calor utiliza los métodos de Fourier (es decir, tomar la transformada de Fourier de la ecuación del calor, hacer algunos cálculos y luego invertir la transformada de Fourier para obtener la solución $u$ ). Lo encontrará en (casi) cualquier libro sobre EDP.