Calcular

Question

Calcular$\tan(1+i)$.

Yo uso la expresión$\tan x = -i\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}$. Así que solo resta calcular$e^{i(1+i)}$ (y luego$e^{-i(1+i)}$ sigue tomando el recíproco).

Asi que $e^{i(1+i)} = e^ie^{ii} = e^i/e$.

Para$e^i$ uso la fórmula$e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots$, así que$$e^i = 1+i-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{i}{3!}+\dfrac{1}{4!} = \left(1-\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{4!}-\ldots\right)+i\left(1-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{5!}-\ldots\right)$ $

y probablemente no haya manera de calcular eso, excepto decir que es igual a$\cos 1+i\sin 1$.

Y entonces $e^i/e = (\cos 1+i\sin 1)/e$.

Esto parece producir una expresión muy fea para el original$e/e^i = e/(\cos 1+i\sin 1)$. ¿Hay alguna manera de simplificar?

Answer 1

Sugerencia :

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}.$ $$$\tan(ix)=i\tanh(x)$ $

Answer 2

INSINUACIÓN:

Dejar $a+ib=\tan(1+i),\implies a-ib=\tan(1-i)$

Entonces, usando$2\cos A\cos B=\cos(A-B)+\cos(A+B)$ y$\cos(ix)=\cosh x,\sin(ix)=i\sinh x$

PS

PS

Answer 3

usar Fórmula Tan (A + B)

y recuerda Tan (ix) = i Tanhx

úsalo en tu fórmula y luego simplifica como lo harías con los números complejos normales

Si necesita una respuesta detallada hágamelo saber

aclamaciones