¿Si $A \subset X$ es contractible, entonces equivale homotopía de $X \setminus A$ $X \setminus a_0$?

Question

Como en el título: permita que$A \subset X$ sea contraíble y deje que$a_0 \in A$. ¿Son equivalentes$X \setminus A$ y$X \setminus a_0$ homotopy? Traté de demostrar que lo es, pero honestamente no tengo idea de cómo sería un homotopy inverso a la inclusión$X \setminus A \rightarrow X \setminus a_0$. Esto es bastante difícil para mí visualizarlo, por lo que cualquier prueba / contraejemplo intuitivo sería muy apreciado, o cualquier consejo general sobre la búsqueda de un homotopy inverso.

Answer 1

No Como contraejemplo, tome$X = \Bbb R^2$ y$A$ para ser el eje$x$. $A$ es contractible. Sin embargo,$X \setminus \{0\}$ está conectado a la ruta, mientras que$X \setminus A$ no lo está.