¿Cuando alborotaban de subobjetos es un subobjeto?

Question

¿Cuáles son las condiciones de una categoría (o en un determinado objeto) que se garantiza que el colimit de una familia de subobjetos de un objeto dado es un subobjeto de un mismo objeto?

Actualización: Para aclarar la pregunta - vamos a $C$ ser una categoría arbitraria colimits. Considere la posibilidad de una familia $\mathcal{I}=\{X_i\to X\}$ de los subobjetos de $X$, de tal manera que $\mathcal{I}$ es un semilattice w.r.t relación de inclusión de subobjetos. Entonces uno puede tomar la colimit $lim_{\to \mathcal{I}}(X_i)$$C$. ¿Cuáles son las condiciones en la categoría de $C$ que garantiza que la canónica mapa de $lim_{\to \mathcal{I}}(X_i)\to X$ es un monomorphism, es decir, $lim_{\to \mathcal{I}}(X_i)$ es un subobjeto de X?

Answer 1

Supongo que tu pregunta es: Si $\{X_i \to X\}$ es un diagrama de subobjetos de $X$, e $\mathrm{colim}_i X_i$ es un colimit en el ambiente categoría, cuando es la inducida por la morfismos $\mathrm{colim}_i X_i \to X$ nuevo un monomorphism y por lo tanto exhibe la colimit como un subobjeto de $X$?

Bien sin restricciones, por supuesto esto falla terriblemente. Considere la posibilidad de cualquiera de sus favoritos de hormigón algebraicas y topológicas categorías y mirar discretos colimits, es decir, co-productos. También falla para coequalizers.

Pero muchas categorías disfrutar de los siguientes bienes: Una dirigida colimit de monomorphisms es un monomorphism. Observe que para abelian categorías, este es parte de Grothendieck, el axioma de AB5. Si esta propiedad es satisfiesd, y el diagrama de $\{X_i\}$ se dirige, entonces, por supuesto, $\mathrm{colim}_i X_i \to \mathrm{colim}_i X = X$ es un monomorphism. Por ejemplo, se puede considerar dirigida colimits de subrings de un anillo, de los subcampos del campo, de los subespacios de un espacio, etc.