Una manera más rápida de multiplicar tedioso

Question

<blockquote> <p>Mostrar que $(a+b+c)(a+b\epsilon +c\epsilon^2)(a+b\epsilon^2 + c\epsilon) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ si $$\epsilon^2 + \epsilon + 1 =0$ $</p> </blockquote> <p>La solución en la parte posterior del libro se da como</p> <blockquote class="spoiler"> <p>Probado por una comprobación directa, teniendo en cuenta que $\epsilon^2 = -\epsilon -1 \: \:$ y $\epsilon^3 = 1$</p> </blockquote> <p>Sin embargo las soluciones todavía se siente como multiplicación tedioso, ¿no? ¿Hay una manera más rápida, más elegante hacerlo?</p>

Answer 1

Una forma sería por descomposición en factores $a^3+b^3+c^3-3abc$.

%#% $ $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$ #% Dónde está la raíz cúbica de la unidad.

Más información sobre la factorización se puede encontrar aquí.

Entonces, claramente, $\omega$ y por lo tanto, $\epsilon=\omega$ $ esta descomposición en factores da, $$\epsilon^3=1$ %#% $ #% $ así