¿Se puede demostrar que ZFC tiene afirmaciones que no pueden ser probadas como independientes, pero lo son?

Question

Estoy familiarizado con el concepto de que una afirmación puede ser probada como independiente, como en el caso de la hipótesis del continuo donde tanto ZFC+CH como ZFC+(CH es falso) son demostradas consistentes, pero me gustaría saber si alguna publicación actual muestra que ZFC puede demostrar lo siguiente como verdadero de una afirmación T:

[ZFC+T es consistente y ZFC+(T es falso) es consistente] es independiente

(Me disculpo por lo informal que está formulada la pregunta; acabo de empezar a leer los trabajos de Cohen y Gödel y no he podido encontrar ningún texto que haga referencia a este problema)

Answer 1

Las afirmaciones de la forma Con(ZFC + T) nunca son demostrables en ZFC, porque implican Con(ZFC). Del mismo modo, ZFC no puede demostrar ninguna afirmación de la forma "T no es demostrable en ZFC", porque tales afirmaciones también implican Con(ZFC). Ambos hechos son consecuencias de los teoremas de incompletitud de Gödel.

Por otro lado, si ZFC + T es consistente, entonces también es imposible para ZFC demostrar que "ZFC + T es inconsistente". Debido a que ZFC es $\omega$-consistente, si ZFC demuestra que alguna teoría es inconsistente, entonces la teoría realmente es inconsistente.

En resumen, ZFC no puede demostrar "ZFC + T es consistente" para cualquier T y no puede refutar esa afirmación para cualquier T tal que ZFC + T sea realmente consistente.