He visto esta integral en youtube, he intentado resolverlo por 5 horas, pero espero que necesito para utilizar el teorema de los residuos que yo no sé realmente $$\int_{0}^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}\,dx$$, numerical integration yields $$0.272198261$$ with an estimated error of $$10^{-15}$$but I am not really sure how to get there, I tried to take antiderivative but failed miserably. When trying to use residue theorem which I don't really know, I got $$ \ln(2)\pi$$ que es, precisamente, 8 veces el valor de la integración numérica.
Respuestas
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No necesitamos usar el complejo de análisis para evaluar la integral de interés.
Hacer cumplir la sustitución de $x\mapsto \tan(x)$ revela
$$\begin{align} \int_0^1 \frac{\log(x+1)}{x^2+1}\,dx&=\int_0^{\pi/4} \log(\tan(x)+1)\,dx\\\\ &=\int_0^{\pi/4}\log(\sin(x)+\cos(x))\,dx-\int_0^{\pi/4}\log(\cos(x))\\\\ &=\int_0^{\pi/4}\log(\sqrt{2}\cos(\pi/4-x))\,dx-\int_0^{\pi/4}\log(\cos(x))\\\\ &=\frac{\pi}{8}\log(2) \end{align}$$
como iba a ser mostrado!
Roger Hoover
Puntos
56
Feynman " truco o el teorema de Fubini son alternativas válidas: $$ I=\int_{0}^{1}\frac{\log(x+1)}{1+x^2}\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\frac{dy}{1+y}\cdot\frac{dx}{1+x^2}=\iint_{(0,1)^2}\frac{x}{(1+xy)(1+x^2)}\,dx\,dy $$ es igual $$ \int_{0}^{1}\frac{\pi y+2\log(2)-4\log(1+y)}{4(1+y^2)}\,dy=\frac{\pi}{4}\log(2)-\int_{0}^{1}\frac{\log(1+y)}{1+y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\log(2)-I $$ por lo tanto $I=\color{red}{\frac{\pi}{8}\log(2)}$.
