Para una monótona y la disminución de la función $f:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$ Muestran que $a_n \to \infty$

Question

Deje $f:\mathbb{R} \rightarrow (0,\infty)$ ser una monótona decreciente de la función. Supongamos $a_1=1$$a_{n+1}=a_{n} + f(a_n)$. Mostrar que $a_n \to \infty$

Tengo que $a_n$ es monótona creciente de la secuencia, así como el rango de $f$ es el de los números reales positivos. ¿Cómo proceder a partir de ahí?

Answer 1

Como se observa, $\{a_n\}$ es un aumento de la secuencia, por lo que es suficiente para mostrar que el $\{a_n\}$ no está delimitado por encima.

Supongo que hay algo de $M>0$ tal que $a_n\leq M$ todos los $n$, y deje $c=f(M)>0$. Entonces a partir de la $f$ está disminuyendo, tenemos $a_2=a_1+f(a_1)\geq a_1+c$, $a_3=a_2+f(a_2)\geq a_2+c\geq a_1+2c$, y, en general, $$ a_{n+1}=a_n+f(a_n)\geq a_n+c\geq\dots\geq a_1+nc $$ Desde $c>0$, $a_1+nc$ será más grande que $M$ para suficientemente grande $n$, lo que contradice la suposición de que $a_n\leq M$ todos los $n$. Por lo tanto,$a_n\to\infty$$n\to\infty$.