Ejemplo de que el límite inversa no es exacto

Question

Su conocido que "ellímite inversa no es exacto". Matsumura en su libro Conmutativa Anillo de la Teoría, página 272, da un ejemplo para esto. No puedo entender cómo se demuestra que el límite inversa de a $Z$ es cero. Puede usted ayudarme por favor?
Hay otra (más simple) ejemplo que muestra que "el límite inversa no es exacto"?

gracias

Answer 1

Para completar el ejemplo mencionado es el diagrama de $$\requieren{AMScd} \begin{CD} @. \vdots @. \vdots @.\vdots\\ @. @VV{p}V @VV{p}V @VV{p}V\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{n}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/(n) @>>> 0\\ @. @VV{p}V @VV{p}V @VV{p}V\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{n}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/(n) @>>> 0\\ @. @VV{p}V @VV{p}V @VV{p}V\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{n}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/(n) @>>> 0 \end{CD}$$ donde $n$ $p$ son coprime.

Creo que lo que puede ser confuso es que usted tiene que tomar un límite inversa de la secuencia de mapas de $\mathbf{Z} \overset{p}{\leftarrow} \mathbf{Z} \overset{p}{\leftarrow} \cdots$, que es diferente de la inversa límite de $\mathbf{Z} \overset{\mathrm{id}}{\leftarrow} \mathbf{Z} \overset{\mathrm{id}}{\leftarrow} \cdots$. En particular, tienes razón en que el límite inversa de la última se $\mathbf{Z}$.

Por otro lado, $$\varprojlim \left(\mathbf{Z} \overset{p}{\leftarrow} \mathbf{Z} \overset{p}{\leftarrow} \cdots\right) = \left\{(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots) \in \prod_{i=0}^\infty \mathbf{Z}\ \middle\vert\ p^{j-i}a_j = a_i\ \text{for all}\ j \ge i \right\} = 0$$ ya que si, por ejemplo, $a_i \ne 0$, entonces debe ser divisible por todos los medios de $p$. Si usted no ha visto la descripción concreta de la inversa límite, véase, por ejemplo, de Atiyah-Macdonald, p. 103. Por lo tanto, el límite inversa de la figura anterior es $$0 \longrightarrow 0 \longrightarrow 0 \longrightarrow \mathbf{Z}/(n) \longrightarrow 0$$ desde la derecha flechas verticales son todos isomorphisms; esta secuencia es obviamente no es exacto.

Otro ejemplo es el siguiente: de Atiyah-Macdonald, Exc. 10.2: $$\requieren{AMScd} \begin{CD} @. \vdots @. \vdots @.\vdots\\ @. @VV{p}V @| @VVV\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{p^n}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z} @>>> 0\\ @. @VV{p}V @| @VVV\\ @. \vdots @. \vdots @.\vdots\\ @. @VV{p}V @| @VVV\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{p^2}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z} @>>> 0\\ @. @VV{p}V @| @VVV\\ 0 @>>> \mathbf{Z} @>{p}>> \mathbf{Z} @>>> \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} @>>> 0 \end{CD}$$ El límite inversa es $$0 \longrightarrow 0 \longrightarrow \mathbf{Z} \longrightarrow \hat{\mathbf{Z}}_p \longrightarrow 0$$ donde la izquierda y la media de las columnas como en el anterior, y la columna de la derecha es el ejemplo a la derecha por encima del suyo en Matsumura, p. 272; esta secuencia no es exacta.