Como ejemplo, vamos a $\Sigma$ denotar los axiomas de ZFC (un conjunto infinito). Es mi entendimiento de que el lenguaje de la aritmética puede ser utilizado para expresar los reclamos de la forma $$\Sigma \vdash \sigma$$
donde $\vdash$ denota primer orden deducibility. Dado que el $\Sigma$ es infinito, ¿cómo es esto en realidad?
Tenga en cuenta que yo soy no afirmando que: "desde que la aritmética es sobre finito entidades, esto no se puede hacer."
Podemos hacer que el uso de la numeración de Gödel. El lenguaje de la teoría de conjuntos sólo tiene una relación binaria, y no constantes o símbolos de función. Para la numeración de Gödel es bastante simple.
No es difícil mostrar que la codificación del esquema de sustitución es recursiva. Podemos identificar los casos en $n=\#\varphi$ y por lo tanto podemos reconocer cuando un entero codifica el axioma de reemplazo para $\varphi$.
Así que los números de Gödel de $\Sigma$ es un conjunto recursivo. Ahora podemos hablar de secuencias de números en un recursiva de la moda, y podemos pedir al $k$ codifica una secuencia finita de frases que son una prueba de la secuencia (es decir, cada número codifica un axioma de $\Sigma$ o algo que se deducen de los pasos anteriores mediante modus ponens, u otros previamente acordado las reglas de inferencia). Por lo tanto, la relación $\operatorname{Pr}(n,k)$ que afirma que $n=\#\varphi$ $k$ codifica una secuencia de prueba para $\varphi$ $\Sigma$ es recursiva.
Por lo tanto, la declaración de $\Sigma\vdash\sigma$ es realmente sólo decir que existe una prueba de secuencia de cuyas iniciales son los axiomas de$\Sigma$, y el último punto es $\sigma$. Con todo, esta relación es recursivamente enumerable, como la declaración es $\exists k\operatorname{Pr}(\#\sigma,k)$.
La infinitud de $\Sigma$ proviene de los Esquemas de Axioma de Reemplazo y la Comprensión, así que uno tiene que buscar en la naturaleza recursiva de los predicados y las fórmulas. Afortunadamente $\Sigma$ no es una arbitraria conjunto infinito, pero es recursivamente enumerable el uso de un conjunto finito de reglas. Y, como tal, es posible expresar "$\phi$ es un axioma de ZFC" (o más bien "$n$ es el número de Gödel de un axioma de ZFC") esencialmente de la misma manera como "$n$ es un número primo" o "$n$ es una potencia de $10$" son representables.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
