Secuencia de continuo, integrable funciones que no están dominados

Question

Estoy buscando una secuencia de funciones continuas ${f_n}: [0,1] \rightarrow [0,\infty]$ tal que $\int f_n d\mu \rightarrow 0$, $f_n(x) \rightarrow 0$ para todos los $x$, pero $f(x) = \sup f_n(x)$ no $L_1$.

La "torre giratoria" funciones con el crecimiento de las alturas parecen no converge a cero. Una función que se eleva sobre la reducción de los intervalos, como $f_n(x) = \sqrt{n} {\bf 1}_{[0,\frac{1}{n})}$ no satisfacer la última condición...

¿Usted tiene alguna sugerencia sobre cómo podría encontrar este tipo de funciones?

Answer 1

Vamos

$$f_n(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} &, \frac{1}{n+1} \leqslant x < \frac{1}{n}\\ (n+1)2^{n+1}\left(x -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{2^{n+1}}\right) &, \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2^{n+1}} \leqslant x < \frac{1}{n+1}\\ n2^n\left(\frac1n + \frac{1}{2^n} - x\right) &, \frac{1}{n} < x < \frac1n + \frac{1}{2^n}\\ 0 &, \text{ otherwise}. \end{casos}$$

A continuación, $f_n \to 0$ pointwise, $\int_0^1 f_n(x)\,dx = \log (1 + 1/n) + \frac{n}{2^{n+1}} + \frac{n+1}{2^{n+2}} \to 0$, pero $\sup_n f_n(x) = \frac1x \notin L^1$.

Answer 2

Intente $f_n(x)=(n-n^2\cdot|1-nx|)^+$ por cada $n\geqslant1$. Cada una de las $f_n$ es la tienda de la función centrada en$\frac1n$, con una anchura $\frac2{n^2}$ y la altura de la $n$ por lo tanto $f_n(x)\to0$ por cada positivo $x$ desde $f_n(x)=0$ por cada $n$ lo suficientemente grande, y $\int_0^1f_n=\frac1n\to0$ al $n\to\infty$.

Sin embargo, $f(x)=\sup\limits_nf_n(x)$ es tal que $f(x)\sim\frac1x$ al $x\to0$ por lo tanto $f$ no es integrable.

Más generalmente, todos los $f_n(x)=n\cdot f_1(n^2x-n)$ obras, donde $f_1$ es continua con soporte compacto (y no cero).