Existe una noción de inyectiva cogenerator de la categoría $\mathrm{Mod}$-$R$: Un inyectiva cogenerator es un inyectiva $R$-módulo de $C$ tal que para cada valor distinto de cero $R$-módulo de $M$, hay un valor distinto de cero homomorphism $M\rightarrow C$, es decir,$\mathrm{Hom}_R(M,C)\neq 0$.
Como resulta, inyectiva cogenerators son precisamente los módulos de la satisfacción de la propiedad que usted está interesado en.
Véase la respuesta a esta pregunta por el hecho de que inyectiva cogenerators tienen la propiedad que usted está interesado en, es decir, el functor $\mathrm{Hom}_R(-,C)$ preserva y refleja exacta de las secuencias.
Por el contrario, asumir que $C$ $R$- módulo tal que $\mathrm{Hom}_R(-,C)$ preserva y refleja exacta de las secuencias. A continuación, $C$ es inyectiva. Queda por demostrar que $C$ es un cogenerator.
Deje $M$ $R$- módulo. Considere la posibilidad de una secuencia
$$0\rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow M \rightarrow 0.$$
La aplicación de $\mathrm{Hom}_R(-,C)$, obtenemos una secuencia
$$0\rightarrow\mathrm{Hom}_R(M,C) \rightarrow \mathrm{Hom}_R(0,C) \rightarrow \mathrm{Hom}_R(0,C) \rightarrow 0 \;\;. $$
Si $\mathrm{Hom}_R(M,C)=0$, la última secuencia es exacta, por lo que el ex secuencia es exacta. Por lo tanto, $M=0$.
Ahora, en la conmutativa Noetherian anillo caso, no hay una estructura teorema diciendo que cada inyectiva módulo es una suma directa de indecomposable inyectiva módulos, los cuales son de la forma $E(R/P)$ donde $P$ es un primer ideal de $R$ $E(-)$ denota tomar la inyectiva casco. De esto se sigue que el módulo de
$$\bigoplus_{P \in m\mathrm{Spec}(R)}E(R/P)$$
es un inyectiva cogenerator.
En el PID caso, puede comprobarse que para $p \in R$ un primo, el inyectiva hull $E(R/pR)$ es decir, hasta el isomorfismo, el submódulo $R[(1/p)]/R$ $Q/R$ (con el módulo de $R/pR$ incrustado a través de $r+pR \mapsto \frac{r}{p}+R$; también tenga en cuenta que si $R=\mathbb{Z}$ $p$ es un número primo, esto le da una isomorfo copia del grupo de Prüfer $\mathbb{Z}_{p^{\infty}}$). Por lo tanto, hemos
$$Q/R=\left(\sum_{pR \in m\mathrm{Spec}(R)}R[(1/p)]\right)/R=\sum_{pR \in m\mathrm{Spec}(R)}\left(R[(1/p)]/R\right)$$
y es fácil ver (de $R$ UFD) que la suma es directa. Por lo que el módulo de $Q/R$ es de hecho un inyectiva cogenerator en este caso.
