Descripciones explícitas de grupos de orden 45

Question

Sé que hay dos grupos de orden 45, y obviamente uno de ellos (hasta el isomorfismo) es $\mathbb{Z}_{45}$ . Estoy tratando de entender explícitamente cómo es la estructura del otro.

Por el Teorema de Cauchy y el Primer Teorema de Sylow, tiene un subgrupo de orden 3, otro de orden 5 y otro de orden 9. Lo que no tiene este segundo grupo de orden 45, a diferencia de $\mathbb{Z}_{45}$ es un subgrupo de orden 15. Esto descarta un elemento de orden 15, que generaría un subgrupo cíclico. Sé que el grupo es abeliano ya que podemos escribirlo como un producto de subgrupos normales. Por lo demás, no sé qué consecuencias tiene esto, ni cuál es la estructura del grupo no cíclico de orden 45.

Así que, básicamente, mi pregunta es... ¿cómo podemos obtener una descripción explícita del grupo no cíclico de orden 45?

Answer 1

Por el teorema de Sylow, el número de subgrupos de orden $5$ debe dividir $45$ y debe ser congruente con $1$ modulo $5$ la única posibilidad es que haya una solo grupo de orden $5$ . Asimismo, el número de subgrupos de orden $9$ debe dividir $45$ y ser congruente con $1$ modulo $3$ la única posibilidad es que exista un único subgrupo de orden $9$ .

Así que el grupo tiene un único subgrupo de orden $5$ que debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}_5$ (ya que es el único grupo de orden $5$ ), y un único subgrupo de orden $9$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_9$ o a $\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3$ (ya que los únicos grupos de orden $p^2$ con $p$ primo, son el grupo cíclico de orden $p^2$ y un producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden $p$ ).

Además, ambos subgrupos de Sylow son normales; sea $N$ sea el $5$ -subgrupos bajos, y $M$ sea el $3$ -Subgrupo Sylow. Entonces $N\cap M=\{1\}$ ya que los órdenes son coprimos, y $NM$ es un subgrupo (ya que tanto $N$ y $M$ son normales). Y $$|NM| = \frac{|N|\,|M|}{|N\cap M|} = 9\times 5 = 45 = |G|,$$ así que $G=NM$ . Desde $N$ y $M$ son normales, $nm=mn$ por cada $m\in M$ y $n\in N$ . Así que $G\cong N\times M\cong \mathbb{Z}_5\times M$ . Hay dos posibilidades para $M$ , dándole las dos únicas posibilidades para $G$ .

Obsérvese que en ambos casos se obtienen subgrupos de orden $15$ lo que no se consigue en uno de los casos es un elemento de orden $45$ .

Answer 2

Si sabes que hay dos grupos de orden $45$ En este caso, los primeros grupos en los que debes pensar son los grupos abelianos, es decir, el producto directo de los grupos cíclicos por la clasificación de grupos abelianos finitamente generados. Ahora tus "bloques de construcción" son $\mathbb Z_3$ que tiene dos veces, y $\mathbb Z_5$ que ya tiene una vez. Si tratas de "juntarlos todos" obtienes $\mathbb Z_{45}$ que claramente esperábamos. Ahora otras combinaciones serían $\mathbb Z_9 \times \mathbb Z_5$ , $\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_3\times \mathbb Z_5$ y $\mathbb Z_{15} \times \mathbb Z_3$ . Para el primero, ya que $g.c.d.(9,5) = 1$ se sabe que este grupo será cíclico, y por tanto isomorfo a $\mathbb Z_{45}$ .

Para los otros dos, ya que $g.c.d(3,5) = 1$ , $\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5$ es isomorfo a $\mathbb Z_{15}$ así que no tenemos nada nuevo ahí. Pero en $\mathbb Z_{15} \times \mathbb Z_3$ cada elemento tiene un orden que divide $15$ por lo que este grupo no puede ser isomorfo a $\mathbb Z_{45}$ .

Espero que eso ayude,

Answer 3

Es $\mathbb{Z}_{15} \times \mathbb{Z}_3$ . Obsérvese que existe efectivamente un subgrupo de orden $15$ .