Mostrar el límite superior de la cardinalidad de a $A$ $C\sqrt{n\log{n}}$

Question

$\forall l,m,n\in \Bbb{Z_+}$, vamos a $A:=\{k: m+1\leq k\leq m+n\text{ and }l-k^2\text{ is a square number}\}$.

Por favor, probar que el número de elementos en $A$ no es más que $C\sqrt{n\log n}$ donde $C$ es una constante positiva que es independiente de $l,m$$n$.

Answer 1

COMENTARIO.- Esto no es un problema para todo el mundo. En particular, $A\ne\emptyset\iff l$ no tiene un factor primo de la forma $4n+3$ con un exponente impar en su primer descomposición. Por ejemplo, si $l=7N$$7\not|\space N$$A=\emptyset$.

El problema se reduce a saber el número de representaciones de $l$ como una suma de dos cuadrados, $l =k^2+r^2$ $k\in A$ pero teniendo en cuenta que $0$ y los enteros negativos. En el maravilloso Wolphram Idioma que usted puede poner SquaresR$[2,l]$ y se obtiene este número buscado por $l$; por ejemplo, si usted pone SquaresR[2,61], se obtiene la respuesta $8$ pero usted debe considerar atside,por ejemplo, de $61=5^2+6^2$, también se $61=(-5)^2+6^2$ y otros. El dado enlazado $C\sqrt{n\log n}$ es obtenido con todas estas cantidades de dinero involucradas y el procedimiento para que este no es tan "elemental".