Qué $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1$ nos dicen nada acerca de $\lim f(x)-g(x)$ o viceversa?

Question

Esto no es tarea ni nada, pero yo sólo tenía un azar idea y no estoy muy seguro de dónde ir con ella.

Las ecuaciones: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$ $$ \lim_{x \to \infty} f(x)-g(x) = 0$$

Son dos formas de aproximadamente diciendo que como $x$ pone muy grandes, $f(x)$ $g(x)$ llegar muy cerca uno del otro. Mi pregunta es, ¿cualquiera de estas declaraciones implican el otro?

Tomando los registros de la primera ecuación, podemos ver que esto implica $$\lim_{x \to \infty} \log(f(x))-\log(g(x))=0$$, y por exponentiating la segunda ecuación, obtenemos que $$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=1$$

Aparte de eso, realmente no he notado nada. Alguien tiene alguna visión?

Answer 1

El primero no implica lo segundo. Considere la posibilidad de $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x^2$. A continuación, el límite del cociente es 1, pero el límite de la diferencia diverge a infinito.

El segundo definitivamente implica en primer lugar si los límites son finitos. Estoy bastante seguro de que debe ser en general, pero no puede proporcionar una prueba de ello ahora mismo. Pero la diferencia va a 0 dice que ellos están mucho más cerca de lo que el cociente va a 1

Answer 2

no se puede decir nada acerca de $\lim_{x \to \infty}(f - g)$ $\lim_{x \to \infty} \frac fg = 1.$

aquí están algunos contador de ejemplos:

(1) $f(x) = x, g(x) =x \pm \sqrt x$ aquí tenemos a $\lim_{x \to \infty}f(x) - g(x) = \mp \infty$

(2) $f(x) = x, g(x) =x \pm 1$ aquí tenemos a $\lim_{x \to \infty}f(x) - g(x) = \mp 1$