Más fuerte que la ZF, más débil que ZFC

Question

Puede usted por favor el nombre de sistema de axiomas que es estrictamente más débil que ZFC y estrictamente más fuerte que ZF? (DC, AC$_\omega$)

He buscado por él, pero sólo pude encontrar estos dos. Si hay declaraciones equivalentes a los de DC o de la CA$_\omega$ en ZF, por favor decirme o darme un enlace de la introducción de esos.. (Quiero un poco de instrucciones equivalentes, ya que no sé donde estos dos puede ser utilizado provechosamente.)

Answer 1

Hay infinitamente muchas afirmaciones que están entre ZF y ZFC, estos son a menudo llamados elección de los principios.

Un poco más formalmente (pero ingenuamente, como Carl indica en los comentarios), decimos que una oración en el lenguaje de la teoría de conjuntos $\varphi$ es un principio de elección si es demostrable a partir de ZFC, pero no de ZF, decimos que $\varphi$ es un débil principio de elección si ZF+$\varphi$ no prueba de CA.

Ejemplos para la elección de los principios de:

1. el axioma de la elección;
2. el axioma de elección para los contables de las familias;
3. contables de los sindicatos de contable de conjuntos contables;
4. el axioma de elección para los contables de las familias de finito de conjuntos;
5. el axioma de elección para los contables de las familias de los pares.

El primero no es un débil principio de elección, que es en realidad el axioma de elección en su totalidad. Se puede demostrar que cada principio de elección implica las siguientes, y que todas esas implicaciones son muy estrictos. La lista puede ampliarse mucho más, incluso si se requiere permanecerá "lineal" (que por cada dos declaraciones de uno de ellos implica la otra).

Sin embargo, hay otra opción principios, por ejemplo:

El ultrafilter lema: Cada filtro puede ser extendido a un ultrafilter.

Esto es particularmente importante principio de elección con muchos equivalentes y de los usos a través de las matemáticas. Por ejemplo, es equivalente al teorema de compacidad en la lógica; o el teorema de Tychonoff de Hausdorff compacto espacios. Este principio de elección implica que todo conjunto puede ser linealmente ordenado, así como la de Hahn-Banach teorema y, a su vez - el de Banach-Tarski paradoja. De esta familia de elección de los principios de seguir también el hecho de que cada campo tiene una expresión algebraica de cierre, y que el cierre es única hasta el isomorfismo.

Hay muchos, muchos otros la elección de principios, algunos de ellos son equivalentes a los de ultrafilter lema; y otros para el axioma de elección para las familias de algún tipo (contables, etc.); y otros principios son sólo "ahí fuera" y no son equivalentes a las variantes de estas dos anteriores, por ejemplo KWP($n$) y SVC son dos ejemplos importantes.

Específicamente para DC, tenemos una interesante equivalente:

• La categoría de Baire teorema para completar la métrica de los espacios.

Como para el axioma de contables de elección, también tiene varios equivalentes y uno de los interesantes, por ejemplo:

• $\sigma$-espacios compactos son Lindelof.

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Para aprender más acerca de tales principios puede que se encuentre interesado en la lectura de estos libros, todos contienen pruebas, listas y diagramas de distintas elección de los principios y de la conocida implicaciones entre ellos:

1. Herrlich, H. Axioma de Elección. Notas de la conferencia en Matemáticas, Springer, 2006.

2. Jech, T. El Axioma de Elección. North-Holland (1973).

3. Howard, P. y Rubin, J. E. Consecuencias del Axioma de Elección. American Mathematical Soc. (1998). También consulte la base de datos en línea para el libro.

4. Moore, G. H. Zermelo del Axioma de Elección. Springer-Verlag (1982).