Es mi prueba de que $\lim_{x\rightarrow 0} x\sin\frac{1}{x}=0$ correcto?

Question

Traté de resolver este límite:

$$\lim_{x\rightarrow 0} x\sin\frac{1}{x}$$

Y llegué a la respuesta que $\lim_{x\rightarrow 0} x\sin\frac{1}{x}=0$. Es mi solución correcta?

$\lim_{x\rightarrow 0} x\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} x\frac{1}{x}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{\sin t}{t}$

Y como $\frac{-1}{t}\leq \frac{\sin t}{t}\leq \frac{1}{t}$ todos los $t>0$$\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{-1}{t}=\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{1}{t}=0$, entonces por el teorema del sándwich llegamos $\lim_{t\rightarrow +\infty} \frac{\sin t}{t}=0$.

Es correcto? Hay un más rápido, más inteligente manera de hacer esto?

Answer 1

aquí es un poco más rápido. tomar la desigualdad $-1 \le \sin \dfrac{1}{x} \le 1$ esto le da a $$ -|x| \le x\sin \dfrac{1}{x} \le |x|$$ ahora utilizar el teorema del sándwich.

Answer 2

No es completa, debido a que sólo se han calculado $$ \lim_{x\to 0^+}x\sin\frac{1}{x} $$ y usted también debe hacer el límite de la izquierda; sin embargo, como $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, la función es par, entonces el límite de la izquierda es igual al límite de la derecha, siempre y cuando uno de ellos existe.

Su sustitución, sin embargo, sólo explota el hecho de que $|\sin\alpha|\le1$ y usted puede utilizar este hecho para empezar: $$ -|x|\le x\sin\frac{1}{x}\le |x| $$ y el teorema del sándwich de inmediato le proporciona el límite.