Resolver $\lim_{x\to 0} (\ln (x+e))^{\cot x}$ sin l'Hôpital

Question

$$\lim_{x\to 0} (\ln (x+e))^{\cot x}$$

Dado que tenemos una forma indeterminada de $1^{\infty }$, deberíamos simplificar de tal manera que podamos transformar la expresión en e elevado a algo, pero no encuentro la manera.

Se prohíbe el uso de la regla de l'Hôpital o series.

Answer 1

En primer lugar, quieres calcular el límite del logaritmo de tu función: $$ \lim_{x\to0}\cot x\ln(\ln(x+e)) $$ El primer paso es casi obvio: nota que $$ \lim_{x\to0}x\cot x=\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\cos x=1 $$ así que puedes reducirlo a calcular $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(\ln(x+e))}{x} $$ porque si este límite existe, será igual al que quieres calcular.

¿Cómo hacemos esto? Hagamos la sustitución $x=et$, entonces se convierte en $$ \lim_{t\to0}\frac{\ln(\ln e+\ln(1+t))}{et}= \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+\ln(1+t))}{et} $$ Todavía no está en la mejor forma. Hagamos una nueva sustitución: $\ln(1+t)=u$, es decir, $t=e^u-1$, entonces obtenemos $$ \frac{1}{e}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{e^u-1}= \frac{1}{e}\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}\frac{u}{e^u-1}=… $$

Dado que $$\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1\qquad\lim_{u\to0}\frac{u}{e^u-1}=1$$ son ambos límites conocidos, puedes concluir que $$\lim_{x\to0}\cot x\ln(\ln(x+e))=\frac{1}{e}$$ Por lo tanto $$\lim_{x\to0}(\ln(x+e))^{\cot x}=e^{1/e}$$

Por supuesto, usar l'Hôpital es más fácil y no requiere imaginación: $$ \lim_{x\to0}\frac{\ln(\ln(x+e))}{\tan x}= \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{\ln(x+e)}\dfrac{1}{x+e}}{1+\tan^2x}=\frac{1}{e} $$

Answer 2

Escríbelo como $$(\ln(x+e))^{\cot(x)}=\exp\left[x\cot(x)\frac{\ln(\ln(x+e))}x\right]$$

Y utiliza el límite conocido

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$$

Para obtener

$$\lim_{x\to0}x\cot(x)=\lim_{x\to0}\cos(x)\left(\frac{\sin(x)}x\right)^{-1}=1\cdot1^{-1}=1$$

y luego utiliza la definición de la derivada para calcular

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(\ln(x+e))}x=\frac d{dx}\ln(\ln(x+e))\bigg|_{x=0}$$

Evaluar la derivada con la regla de la cadena y

$$\frac d{dx}\ln(x)=\frac1x$$

lo que debería darte un resultado final de

$$\lim_{x\to0}(\ln(x+e))^{\cot(x)}=e^{1/e}$$

Answer 3

Tomando el logaritmo natural tienes $$\cot x \ln \ln(x+e))=$$ $$\cos x \frac{x}{\sin x} \frac{\ln \ln (x+e)}{\ln (x+e)-1}\frac{\ln(x+e)-1}{x}$$ Los factores iniciales se reducen a $1$, en cuanto al último, $$\frac{\ln(x+e)-1}{x}= \frac{\ln(x+e)-\ln e}{x}=\frac{\ln(\frac{x}{e}+1)}{x}$$ $$=\frac{1}{e}\frac{\ln(\frac{x}{e}+1)}{x/e}\to\frac{1}{e}$$

Answer 4

Tenga en cuenta que:

$$\ln(x+e)=\ln e +\ln\left(1+\frac{x}{e}\right)=1+\frac{x}{e}+o(x)$$

Así que:

$$(\ln (x+e))^{\cot x}=\left[\left(1+\frac{x}{e}+o(x)\right)^\frac1x\right]^\frac{x}{tanx}\to e^{\frac1e}$$

Answer 5

Tienes \begin{align} \ln(e+x)^{\cot x}&=\ln\left(e(1+\frac xe)\right)^{\frac{\cos x}{\sin x}}=\left(1+\ln(1+\frac xe)\right)^{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ \ \\ &=\left(1+\frac xe+o(x^2) \right)^{\frac{\cos x}{\sin x}}\\ \ \\ &=\exp\left(\frac{\cos x}{\sin x}\,\ln\left(1+\frac xe+o(x^2) \right) \right)\\ \ \\ &=\exp\left(\frac{\cos x}{\sin x}\,\left(\frac xe+o(x^2)\right)\right)\\ \ \\ &=\exp\left(\frac{1+o(x^2)}{x+o(x^3)}\,\left(\frac xe+o(x^2)\right)\right)\\ \ \\ &=\exp\left(\frac{1+o(x^2)}{1+o(x^2)}\,\left(\frac 1e+o(x)\right)\right)\\ \ \\ &\xrightarrow[x\to0]{}\exp\left(\frac1e\right)=e^{1/e}. \end{align} Los polinomios de Taylor relevantes utilizados arriba son $$ \ln(1+x)=x+o(x^2),\ \ \cos x=1+o(x^2),\ \ \ \sin x=x+o(x^3), $$ junto con $a^b=e^{b\ln a}$ (que es la definición de $a^b)