una interpretación geométrica de una integral de línea

Question

¿Existe una interpretación geométrica de las integrales de línea :

$\int_{\gamma} f(x,y)\, dx$

$\int_{\gamma} f(x,y)\, dy$

(que no debe confundirse con $\int_{\gamma} f(x,y)\, ds$ )

donde la función $f(x,y)$ a integrar se evalúa a lo largo de una curva $\gamma$ ?

Answer 1

No estoy familiarizado con tales integrales de línea, pero pensaría que uno podría interpretar $$\int_{\gamma} f(x,y)\, dx$$ como el área de la proyección sobre el eje x de la hoja definida por $f(x,y)$ evaluado a lo largo de $\gamma$ . Del mismo modo, yo interpretaría $$\int_{\gamma} f(x,y)\, dy$$ como el área de la proyección sobre el eje y de la hoja definida por $f(x,y)$ evaluado a lo largo de $\gamma$ .

Asumiendo que seguimos $\gamma$ desde la parte inferior derecha (ver diagrama), integrando con respecto a $dx$ (a lo largo de $\gamma$ ) dará áreas negativas si el lado amarillo está expuesto (al $x$ -eje), y zonas positivas si el lado azul está expuesto. Por supuesto, partes de $\gamma$ que van en paralelo a la $y$ -eje no contribuiría en nada a $$\int_{\gamma} f(x,y)\, dx$$

Answer 2

Una integral de línea de la forma $\int_\gamma f(x,y)\,dx$ es simplemente la integral de línea del campo vectorial $\vec F(x,y) = f(x,y)\vec i$ en $\gamma$ Si entiendes la interpretación geométrica de las integrales de línea de los campos vectoriales, ya tienes la respuesta. Del mismo modo, para una integral de línea con respecto a $dy$ .