Real ángulos $\phi_1,\ldots,\phi_N$, existe una infinidad de números enteros $n$ tal que $\cos(n\phi_k) > 0$ todos los $k$.

Question

Me pregunto si la siguiente afirmación es correcta:

Dado ángulos $\phi_1,\ldots,\phi_N\in\Bbb R$, existen infinitamente muchos de los $n\in\Bbb N$ tal que $\cos(n\phi_k) > 0$ para todos los $k=1,\ldots,N$.

Si todos los $\phi_k$ son racionales múltiplos de $\pi$, la demanda es obviamente cierto y también para $N=1$, pero incluso para $N=2$ no puedo pensar en una prueba.

Answer 1

Sí, esto es correcto. Podemos ver $\phi_i/(2\pi)$ como un elemento de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. A continuación, $(\phi_1,\ldots,\phi_N)/(2\pi)$ es un elemento de $M := (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^N$. Ahora, considere la secuencia de $a_n := (n\phi_1,\ldots,n \phi_N)/(2\pi) \in M$$n=1,2,\ldots$. Ahora $M$ es un conjunto compacto. Por lo tanto, para cualquier $\epsilon>0$ no debe existir $i < j$ para el cual la distancia entre el $a_i$ $a_j$ es de menos de $\epsilon$. A continuación, tome $n = j-i$ y uno ve que $a_n$ está dentro de $\epsilon$ de la identidad.

Así que estos cosenos puede hacerse arbitrariamente cerca de 1.