Distribución geométrica sin reemplazo

Question

En un intento de solucionar este problema he conseguido reducirlo a encontrar el número esperado de bolas blancas recogidas hasta una bola negra que se observa (vamos a llamar a que el valor de $v$). Excepto que, a diferencia de la distribución geométrica, esto debe hacerse sin reemplazo. Distribución hipergeométrica no viene al rescate como el número de bolas negras elegido es inmaterial (y por supuesto el blanco de las bolas debe ser elegido de forma consecutiva). Así que estoy buscando una manera de calcular $v$, o al menos su distribución subyacente. He tratado de buscar en internet, pero no podía encontrar una distribución que fácilmente se ajusta a este.

Así que el problema es:

Considere la posibilidad de una urna tener total $n$ bolas, $w$ de ellos son de color blanco, y el resto es negro. Pick $j$ bolas sin reemplazo. Lo que se espera que el número de bolas blancas que se recoge antes de que una bola negra que se observa ? Note que el número total de bolas recogidas, $j$, es fijo.

Mi conjetura es que la distribución hipergeométrica acumulativa podría ser utilizado, mientras que la división en algún lugar por el número de maneras en las bolas negras se mezclan los blancos (después de la primera bola negra que se observa). Pero poco tengo la intuición de cómo ir a través de este. I. e. dividir antes de tomar la distribución acumulativa o después?

Actualización

Basado en una pregunta en los comentarios de abajo, para que quede claro: el valor deseado que se espera que el número de bolas blancas observó hasta que ya sea una bola negra que se observa, o $j$ picks que pasó, lo que ocurra antes.

Gracias.

Answer 1

Voy a interpretar la pregunta de la siguiente manera: Encuentre el número esperado de bolas blancas extraídas antes de que un negro es visto entre los $j$ dibuja sin sustitución, donde si no hay bola negra que se ve, entonces, la observación de la toma el valor de $j$. Si esto no es lo que usted piensa, por favor, asesorar y voy a revisar en consecuencia.

Podemos usar un bonito y práctico truco para encontrar el valor esperado.

En primer lugar, vamos a establecer algunos de notación. Deje $X$ el número de bolas blancas visto antes de la primera bola negra se dibuja en una muestra de tamaño $n$ tomado sin el reemplazo de $n = w + b$ bolas. Obviamente $X \in \{0,1,\ldots,w\}$ con una probabilidad de 1. Ahora, definir $\newcommand{\Zj}{Z^{(j)}}\Zj$ a ser el número de bolas blancas visto antes de la primera bola negra de la primera $j$ sorteos, o $j$ lo contrario. Por lo tanto $\Zj = \min(X,j)$. Buscamos $\newcommand{\E}{\mathbb E}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\E \Zj$. Sólo necesitamos considerar $j \leq w$, ya que el $\E \Zj = \E X$$j \geq w$.

Hecho: Si $Y$ es un entero no negativo con valores de variable aleatoria, entonces $$\E Y = \sum_{k=1}^\infty \Pr(Y \geq k) \>.$$

La prueba es relativamente fácil y se omite. Es un caso especial de la más general resultado que si $Y \geq 0$ casi seguramente, a continuación,$\E Y = \int_0^\infty \Pr(Y > y) \,\mathrm d y$.

Ahora, de vuelta a los negocios. La clave es reconocer la siguiente equivalencia de eventos, válido para $k \in \{0,\ldots,j\}$: $$ \{ \Zj \geq k\} = \{ X \geq k\} \>. $$

Por lo tanto, tenemos $$ \E \Zj = \sum_{k=1}^j \Pr\Zj \geq k) = \sum_{k=1}^j \Pr(X \geq k) = \sum_{k=1}^j \frac{{w \elegir k}}{{n \elegir k}} \>, $$ donde la última igualdad se sigue del hecho de que $X \geq k$ si y sólo si el primer $k$ bolas extraídas son de color blanco.

Algunos binomial-coeficiente de manipulaciones rendimiento $$ \E \Zj = \sum_{k=1}^j \frac{{w \elegir k}}{{n \elegir k}} = \frac{w}{n-w+1}\left(1 - \frac{{{w-1} \elegir j}}{{n \elegir j}} \right) \>. $$

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Post scriptum: En el caso de la última igualdad se ve en todos misterioso, podemos dar un breve bosquejo de la prueba. Deje $S_k = \Pr(X \geq k)$$p_k = \Pr(X = k) = S_k - S_{k+1}$. A continuación, $$ \mu = \E\Zj = \sum_{k=1}^j S_k = \sum_{k=1}^{j-1} k p_k + j S_j \>. $$ Ahora, tenga en cuenta que $k p_k = w S_k - n S_{k+1}$. Todo lo que queda por hacer es la suma de más de $k$, reorganizar, y resolver para $\mu$.