La comprensión de la prueba de Hartogs Teorema en la Teoría de conjuntos

Question

Estoy tratando de entender la prueba de la Hartogs Teorema en la página 100 de este libro.

Mi pregunta específica es:

Si tenemos para cada conjunto $A$

$$\mathrm{WO}(A)=\{ (U,\leq_{U}) \, | \, U\subseteq A \, \wedge \, (\leq_{U}) \text{ is a wellordering on }U \}.$$

y esta relación en $\mathrm{WO}(A)$

$$U \thicksim V \Longleftrightarrow \text{There is an order preserving bijection between } U \text{ and } V$$

Es cierto que no hay inyección de entre $\mathrm{WO}(A)/\thicksim$$A$?

Estoy tratando de mostrar que $\mathrm{WO}(A)/\thicksim$ tiene el mismo cardinal como $\mathcal{P}(A)$. Por la definición que puedo ver que $\mathcal{P}(A)\leq_c \mathrm{WO}(A)$, pero al hacer el cociente no sé cómo hacer. Yo no puedo ver la prueba claramente en el libro, porque está escrito que

$$\mathrm{WO}(A)/\thicksim\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{WO}(A))$$ y yo no puedo ver cómo esto muestra el resultado.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA: Para $[U],[V]\in\operatorname{WO}(A)/\!\!\sim$ definir $[U]\preceq[V]$ fib $\langle U,\le_U\rangle$ es de orden-isomorfo a un segmento inicial (no necesariamente correcta) de $\langle V,\le_V\rangle$. Demostrar que $\preceq$ es un bien definido por el buen orden de $\operatorname{WO}(A)/\!\!\sim$. Ahora supongamos que $h:\operatorname{WO}(A)/\!\!\sim\,\to A$ es una inyección. Deje $A_0$ ser el rango de $h$, y definir una relación $\sqsubseteq$ $A_0$ $a\sqsubseteq b$ fib $h^{-1}(a)\preceq h^{-1}(b)$. Mostrar que $\langle A_0,\sqsubseteq\rangle\in\operatorname{WO}(A)$, y obtener una contradicción, porque $\langle A_0,\sqsubseteq\rangle\in\operatorname{WO}(A)$ es "demasiado larga".

(Tenga en cuenta que no es útil pensar acerca de la cardinalidad de a $\langle A_0,\sqsubseteq\rangle\in\operatorname{WO}(A)$.)

Answer 2

No es cierto en general que $\text{WO}(A)/\sim$ tiene la misma cardinalidad como $P(A)$; esto sería cierto en virtud de la GCH y, de hecho, la afirmación de que es cierto para todos los infinitos $A$ es equivalente a la GCH en ZFC.

Mientras tanto, no hay inyección de$\text{WO}(A)/\sim$$A$, porque si existiera, se podría utilizar la imagen de que la inyección para hacer un orden, un tipo que no se producen en $\text{WO}(A)$, que sería un contadiction. Básicamente, usted debe mostrar que $\text{WO}(A)/\sim$ es de por sí bien ordenada, y que la inyección induce un pedido de un subconjunto de a $A$, y este tipo de orden es estrictamente más grande que cualquier cosa en $\text{WO}(A)$. Este orden es el orden de tipo de los más pequeños, bien ordenando que no se insertan en las $A$.