Deje que $G_{n,p}, n \in \mathbb {N}, p \in (0,1)$ ser el gráfico aleatorio binomial, es decir, un gráfico en $n$ vértices donde hay un borde en $G_{n,p}$ con probabilidad $p$ . También, que $q \in (0,1)$ .
¿Puede uno considerar $G_{n,q}$ como una unión desarticulada de muchos $G_{n,p}$ ?
Si uno está dispuesto a dejar de lado el requisito de la desunión, entonces la respuesta es sí, para los valores apropiados de $q$ . Por ejemplo, si $q = 2p - p^2$ Entonces $G_{n,q}$ tendrá la distribución de la unión de dos gráficos aleatorios con la distribución $G_{n,p}$ . (Ya que cada borde $e$ tiene probabilidad $p$ de estar en cualquiera de los dos gráficos con distribución $G_{n,p}$ la probabilidad de que $e$ es que al menos uno de ellos es $2p - p^2$ .)
En general, si $G_1$ tiene la distribución de $G_{n,p_1}$ , $G_2$ tiene la distribución de $G_{n,p_2}$ y $q = p_1 + p_2 - p_1 p_2$ y luego un gráfico aleatorio con la distribución $G_{n,q}$ tendrá la distribución de la unión de $G_1$ y $G_2$ .
El hecho de que sea posible acoplar $G_{n,p}$ y $G_{n,q}$ de esta manera es a menudo útil. Por ejemplo, este tipo de argumento puede utilizarse para mostrar que si $ \mathcal {P}$ es una propiedad creciente de los gráficos, entonces la probabilidad de que un gráfico aleatorio con distribución $G_{n,p}$ está en $ \mathcal {P}$ está aumentando en $p$ .
Nota: He leído su pregunta como si hubiera elegido un solo $p$ y $q$ ( $p < q$ ) por adelantado. Si esto no es lo que pretendía, entonces mi respuesta puede no ser relevante.
Si hay una gran diferencia entre $p$ y $q$ entonces el gráfico aleatorio $G_{n,q}$ posee propiedades que desarticulan las uniones de $G_{n,p}$ no lo hagas.
Como ejemplo, supongamos $nq$ tiende a una constante mayor que $1$ mientras que $np$ es menor que $1$ . El gráfico aleatorio $G_{n,q}$ casi seguro que tiene un componente gigante conectado . Cada componente de $G_{n,p}$ sin embargo, es casi seguro que es de un tamaño logarítmico como mucho, por lo que su unión desarticulada no puede tener un componente gigante.
(Ver Wikipedia para más información sobre la evolución de los gráficos aleatorios).
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