¿Con qué probabilidad se produce la fusión nuclear a energías muy inferiores a la barrera de Coulomb?

Question

Incluso en el núcleo del sol, la temperatura de $\sim 10^7$ K sólo da lugar a $kT\sim1$ keV, que es unas mil veces menor que la energía potencial eléctrica de $\sim1$ MeV necesarios para que dos núcleos de hidrógeno se encuentren dentro del rango de ~1 fm de la fuerza nuclear fuerte. Por lo tanto, las reacciones de fusión nuclear sólo pueden producirse en el interior del sol, o en cualquier otra estrella normal, mediante el proceso de tunelización mecánico-cuántica. La baja probabilidad de este tunelaje, junto con la necesidad de una interacción débil para fusionar dos protones en un núcleo de deuterio, son los dos factores que hacen que las estrellas tengan vidas de miles de millones de años.

¿Cómo se calcula la probabilidad de tunelización?

Answer 1

La aproximación WKB establece que en una dimensión, la probabilidad de tunelización $P$ puede aproximarse como

$\ln P=-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^b \sqrt{V-E} dx$ ,

donde los límites de la integración $a$ et $b$ son los clásicos puntos de inflexión, $m$ es la masa reducida, el potencial eléctrico $V$ es una función de $x$ y $E$ es la energía total. Ajuste $V=kq_1q_2/x$ tenemos para la integral

$I=\int_a^b \sqrt{V-E} dx$

$=\frac{kq_1k_2}{\sqrt{E}}\int_{A}^1\sqrt{u^{-1}-1} du$ ,

donde $A=a/b$ . La integral indefinida es igual a $-u\sqrt{u^{-1}-1}+\tan^{-1}\sqrt{u^{-1}-1}$ y para $A\ll 1$ la integral definida es entonces $\pi/2$ . El resultado es

$\ln P=-\frac{\pi kq_1q_2}{\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}} $ .

Este resultado se obtuvo en Gamow 1938, y $G=-(1/2)\ln P$ se denomina factor Gamow o factor Gamow-Sommerfeld.

El hecho de que la integral $\int_A^1\ldots$ puede aproximarse como $\int_0^1\ldots$ nos dice que domina la cola derecha de la barrera, es decir, que es difícil que los núcleos atraviesen el tramo muy largo de $\sim 1$ nm sobre el que el movimiento sólo está ligeramente prohibido de forma clásica, pero si pueden hacerlo, es relativamente fácil que penetren en la región altamente prohibida de forma clásica en $x\sim1$ fm. Sorprendentemente, el resultado puede escribirse de una forma que sólo depende de $m$ et $E$ pero no en $a$ es decir, ni siquiera tenemos que conocer el alcance de la fuerza nuclear fuerte para calcular el resultado.

La expresión genérica de WKB depende de $E$ mediante una expresión de la forma $V-E$ lo que podría hacernos creer que con una barrera de 1 MeV, habría poca diferencia si $E$ fuera de 1 eV o 1 keV, y la fusión sería tan probable en los árboles y las casas como en el sol. Pero como la probabilidad de tunelización está dominada por la cola de la barrera, no por su pico, el resultado final acaba dependiendo de $1/\sqrt{E}$ .

Porque $P$ aumenta muy rápidamente en función de $E$ La fusión está dominada por núcleos cuyas energías se encuentran en las colas de la distribución maxwelliana. Existe un estrecho rango de energías, conocido como la ventana de Gamow, en el que el producto de $P$ y la distribución de Maxwell es lo suficientemente grande como para contribuir significativamente a la tasa de fusión.

Gamow y Teller, Phys. Rev. 53 (1938) 608

Answer 2

$ E_{out} = 4 \pi n_1 n_2 (m_0-m_a) c^2{(\frac {m}{2k_B T})}^{3/2} \int_0^ \infty \sigma(v) v^2 e^{\frac {-mv^2}{2k_B T}} dv$

$m_0$ es la suma de las masas de los núcleos que reaccionan, $m_a$ es la suma de las masas de los núcleos del producto, $n_1$ es la densidad numérica de uno de los núcleos reactivos y $n_2$ es la densidad numérica del otro núcleo que reacciona, $\sigma(v)$ es la probabilidad de que se produzca la reacción de fusión, si la energía es menor que la barrera del culombio, es la probabilidad de que el túnel cuántico atraviese la barrera del culombio. Si pudiéramos encontrar esa probabilidad podríamos calcular la producción total de energía de una reacción de fusión nuclear.