Probablemente lo hayas dicho al revés: el codominio siempre es mayor que el rango anterior.
De todos modos, para una función, puede mapear cada valor en el dominio a sólo un en el intervalo (es decir, $f(x)$ es un valor único en el rango), por lo que de hecho el rango también es menor que el dominio . Eso es lo que refleja la primera afirmación, ya que el dominio es $\mathbb Q$ y el alcance es $f(\mathbb Q)$ .
El otro hecho se deduce del teorema del valor intermedio : si dos puntos distintos $a < b$ están en el rango de $f(\mathbb Q)$ entonces todo el rango $[a,b]$ debe pertenecer al rango, por el hecho de que $f$ es continua y por tanto se cumple el teorema del valor intermedio. resulta que $[a,b]$ es incontable si $a \neq b$ Así que $f(\mathbb Q)$ no puede contener dos puntos distintos si es contable: a partir de aquí, $f(\mathbb Q)$ debe ser un único punto, por lo que $f$ es constante.
Aclaración sobre "dominio mayor que el rango"
Lo primero que hay que tener en cuenta, sobre todo con los conjuntos infinitos, es que un conjunto infinito puede tener el mismo tamaño que uno de sus subconjuntos.
Por ejemplo, $\{1,2,3,...\}$ tiene el mismo tamaño que $\{2,3,...\}$ porque tenemos una biyección entre los conjuntos, dada por el mapa $x \to x+1$ . Así, aunque un conjunto esté contenido en el otro, tienen el mismo tamaño.
Hay una manera de ver el rango como un "subconjunto del dominio" : así es como lo hacemos . Fijar cualquier $x$ en el rango. Por definición, existe un $y$ en el dominio que corresponde a $x$ .
En $x$ varía a lo largo del intervalo, recoger todas las $y$ s y juntarlos para formar un subconjunto del dominio. La cuestión es que dos $x$ s deben asociarse a diferentes $y$ s, porque $f(y)$ tiene un valor único, por lo que $y$ no puede asociarse a dos valores diferentes.
Este subconjunto del dominio es al menos tan grande como el rango, porque para cada punto del rango encontramos un punto diferente del dominio al que asociarlo. Sin embargo, el propio dominio es al menos tan grande como este subconjunto y, por tanto, tan grande como el rango.
Todo esto, ignorando por completo la contención. Lo que significa que es totalmente posible que como conjuntos por derecho propio, el dominio esté en realidad estrictamente contenido en el rango. Lo que nos importa es la cardinalidad, es decir, el tamaño de ambos conjuntos, y para este parámetro he demostrado que el dominio es al menos tan grande como el rango en tamaño, aunque pueda estar contenido en él.
