Para encontrar el factor de una ecuación polinómica

Question

Uno de los factores de $4x^2+y^2+14x-7y-4xy+12$ es igual a

1. $2x-y+4$

2. $2x-y-3$

3. $2x+y-4$

4. $2x-y+3$

Paso $1$ : $4x^2+y^2-4xy$ puede simplificarse como $(2x-y)^2$

Paso $2$ : $14x-7y$ puede simplificarse como $7(2x-y)$

y finalmente

$(2x-y) (2x-y+7) + 12$

Sólo puedo ser capaz de factorizar hasta este punto. sin embargo, no puedo llegar a la respuesta.

La respuesta se da en el libro. Dice que $4x^2+y^2+14x-7y-4xy+12$ es el producto de $(2x-y+3)$ y $(2x-y+4)$ Necesito pasos

Answer 1

Puedes hacer $2x-y=k$ y luego

$$k^2+7k+12=(k+3)(k+4)$$

y luego se obtiene

$$(2x-y+3)(2x-y+4)$$

Answer 2

Podemos escribir la ecuación dada como el producto de dos polinomios más pequeños: \begin{align} \rlap{4x^2+y^2+14x7y4xy+12} \\ &= (ax+by+c)(dx+ey+f) \\ &= adx^2+aexy+afx+bdxy+bey^2+bfy+cdx+cey+cf \\ &= \rlap{adx^2+bey^2+(af+cd)x+(bf+ce)y+(ae+bd)xy+cf} \end{align}

Podemos equiparar los coeficientes para obtener lo siguiente:

\begin{align}4 &= ad \tag{$x^2$ term} \\ 1 &= be \tag{$y^2$ term} \\ 14 &= af+cd \tag{$x$ term} \\ -7 &= bf+ce \tag{$y$ term} \\ -4 &= ae+bd \tag{$xy$ term} \\ 12 &= cf \tag{constant term}\end{align}

Podemos resolver estas ecuaciones simultáneas para obtener \begin{align}a &= 2 \\ b &= -1 \\ c &= 4 \\ d &= 2 \\ e &= -1 \\ f &= 3\end{align}

Por lo tanto, podemos decir que $$4 x^2 + y^2 + 14 x 7 y 4 x y + 12 = (2 x - y + 4) (2 x - y + 3)$$