Criterio de suma/diferencia de fracciones de unidad a ser en términos mínimos

Question

Elige dos distinto de cero enteros $a$$b$, lo $(a,b)\in (\mathbb{Z}\setminus\{0\})\times(\mathbb{Z}\setminus\{0\})$. Queremos agregar las fracciones $1/a$ $1/b$ y usar el algoritmo estándar. Cuidadosamente primero encontrar el mínimo común múltiplo de a $a$ $b$ (es el único bien definido hasta una señal, pero que no va a ser importante). A continuación, convertir cada una de las dos fracciones para obtener este número de sus denominadores. Por último, añadir los dos nuevos numeradores y mantener el denominador.

Para el alcance de esta pregunta, vamos a llamar a $(a,b)$ "fácil" iff la resultante de la suma de la fracción ya está en su mínima expresión (fracción irreducible).

Ejemplos: Si $a=12$$b=16$, luego

$$\frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{4}{48}+\frac{3}{48}=\frac{7}{48}$$

por lo $(12,16)$ es "fácil". Por otro lado, desde

$$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}$$

el par $(10,15)$ es no "fácil".

La pregunta: ¿hay un equivalente o de manera más simple de definir esta "facilidad"? Por ejemplo, en términos de los signos y el primer factorizations de $a$$b$? ¿Esta propiedad ya tiene un nombre convencional?

Tenga en cuenta que los signos parecen importar desde $(3,6)$ no es fácil, mientras que $(3,-6)$ es.

Answer 1

Deje $\gcd(a,b)=d$, y escribir $a=da', b=db'$ donde $\gcd(a',b')=1$. Entonces usted tiene $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{da'}+\frac{1}{db'}=\frac{b'+a'}{da'b'}$$

Ahora, $\gcd(a'+b',a'b')=1$ porque si el primer $p|\gcd(a'+b',a'b')$$p|a'b'$, entonces el wlog $p|a'$; pero, a continuación, $p|(a'+b')$ y, por tanto,$p|b'$, una contradicción. Por lo tanto la suma es "fácil" exactamente al $$\gcd(a'+b',d)=1$$

En el ejemplo,$a=10, b=15$,$a'=2, b'=3, d=5$$a'+b'=5$.

En el ejemplo,$a=3, b=\pm 6$,$a'=1, b'=\pm 2, d=3$, e $a'+b'$ $3$ o $-1$.

Answer 2

Dos trivial condiciones para facilidad (que puede servir como definiciones) son $$ \gcd(a + b, ab) = \gcd(a,b) $$ y $$ \gcd(a + b \gcd(a,b)^2) = \gcd(a,b) $$ En cualquier caso, si usted lo desea en términos de la descomposición en factores primos y firmar, usted está probablemente va a tener que utilizar la descomposición en factores primos de a $a + b$ y no sólo los de $a$$b$. Esto es cierto en un cierto sentido preciso: permuting los números primos no conserva la facilidad en $(a,b)$. Como un ejemplo, $(15,33)$ es fácil, mientras que $(10, 22)$ no es (de conmutación de los números primos $2$$3$).