Dónde está la Verdura teorema de usa?

Question

Dónde está la Verdura teorema de usa? Creo que es extraño que va desde un campo de vectores para el cálculo de un volumen de un campo escalar, donde hacemos uso de este tipo de cálculo?

Answer 1

Tal vez uno de los más simples para construir aplicaciones en el mundo real de un teorema matemático como el Verde del Teorema es la planimeter. Es realmente útil y muy fresco.

Por supuesto, el Verde del teorema se utiliza en otras partes de las matemáticas y de la física. Es una generalización del teorema fundamental del cálculo y un caso especial de la (generalizada) de Stokes Teorema. Stokes es el Teorema más general del teorema fundamental del cálculo en el contexto de la integración en $R^n$. El teorema fundamental del cálculo en $R$ dice que (bajo las condiciones adecuadas) que $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$. Verde del teorema es el análogo de este teorema a $R^2$.

Answer 2

Uno (complejo mundo) aplicación del teorema de Green es en la prueba de Cauchy teorema, el cual indica que para valores complejos de la función $f$ que es analítica en el interior y en una curva cerrada simple $\gamma$, $\int_{\gamma} f(z)\,dz = 0$. Esto es muy útil el resultado de complejos análisis. Esto nos muestra que el Verde del teorema es quizás más alcance de lo que piensas, porque estamos usando un resultado originalmente establecido en los términos de campos vectoriales y escalares campos a mostrar algo acerca de los números complejos.

Verde del teorema es en realidad un caso especial de un fenómeno más general, relacionados con una integral sobre una cierta superficie a una integral sobre sus límites. El teorema general estoy aludiendo a que se llama Stokes teorema, y es muy útil: a veces nos encontramos con una integral sobre alguna superficie que es muy difícil de evaluar, pero el uso de Stokes teorema, podemos cambiar eso integral en otro (que a veces se vuelve mucho más fácil evaluar!). Esto es en realidad una generalización del Teorema Fundamental del Cálculo: si $F$ es una antiderivada de $f$$[a,b]$,$\int_a^b f = F(b) - F(a)$. El lado izquierdo es la integral sobre la superficie (en este caso, sólo un intervalo), y el lado derecho es la integral en su límite (con las debidas interpretaciones, por supuesto).

Answer 3

Como Stahl señaló, Verde del teorema es el teorema de Stokes en un disfraz para una región de 2D.

Aviso podemos reescribir Verde del teorema en 2D $$ \oint_{\partial U} (Q\, dx + P\, dy) = \iint_{U} \left(\frac{\partial P}{\partial x} - \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dx\, dy $$ como $$ \oint_{\partial U} F\cdot n\,ds= \iint_{U} \nabla \cdot F\, dx\, dy $$ para $F = (P,-Q)$. Este formulario es potente, se puede aprovechar su "integral por partes" de la naturaleza.

Deje $F = \psi\nabla \phi - \phi\nabla \psi$, podemos obtener Verde de la segunda identidad (en dos dimensiones): $$ \iint_U \left( \psi \Delta \phi \phi \Delta \psi\right)\, dx\,dy = \oint_{\partial U} \left( \psi {\parcial \phi \over \partial n} - \phi {\parcial \psi \over \partial n}\right)\, ds. \etiqueta{1} $$

Identidades derivadas de Verde del teorema de arriba juegan un papel clave en la reciprocidad en el electromagnetismo, la entrada en la wikipedia tiene un montón de ejemplos.

La vida real de las aplicaciones incluyen el uso de la reciprocidad para evaluar la excitación de un impulso en la guía de onda o diseños de antena.

En resumen, la identidad (1), que se deriva de una versión generalizada del teorema de Green, permite que ciertos tipos de reciprocidad, que es de la naturaleza de la ley, para ser explicado por una teoría matemática.