Manera más fácil de probar que $\int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin(2x)^3\cos(3x)^2 \mathrm{d}x=\left(3/4\right)^4$

Question

He estado tratando de evaluar esta integral un par de veces. Y mi mejor intento ha sido volver a escribir es como una suma de la combinación lineal de seno y coseno términos. Por desgracia, esto lleva un par de páginas manuscritas de llevar a cabo. Hay alguna más fácil/más rápido/más prolijo a la hora de evaluar?

$$ \int_{\pi/6}^{\pi/2} \sin(2x)^3\cos(3x)^2\,\mathrm{d}x=\left(\frac{3}{4}\right)^4 $$

Gracias de antemano =)

Answer 1

Escribir $$ \sin 2x = \frac{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i}$$ y $$ \cos 3x = \frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}{2},$$ cubo de la identidad de la primera, el cuadrado de la segunda, y ampliar.

Answer 2

La manera que usted describe es sensato. La notación es un poco engañoso, probablemente la intención $$\int_{\pi/6}^{\pi/2} (\sin 2x)^3 (\cos 3x)^2\,dx.$$ Si eso es así, la respuesta es correcta.

Desagradable es difícil evitar aquí. Una manera de expresar como una combinación lineal es empezar por el uso de $\cos 2u=2\cos^2 u-1=1-2\sin^2 u$. Por lo tanto nuestros integral se convierte en $$\frac{1}{4}\int_{\pi/6}^{\pi/2}(\sin 2x)(1-\cos 4x)(1+\cos 6x).$$

Ahora continuar. Para guardar un poco de la escritura, vamos a $u=2x$. A continuación, queremos $$\frac{1}{8}\int_{\pi/3}^\pi(\sin u)(1-\cos 2u)(1+\cos 3u)\,du.$$

el uso de las fórmulas para expresar un producto de senos y/o cosenos como una suma de senos y cosenos, que usted probablemente ya utilizado. Más fácil con la mano que con Látex!

Answer 3

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2} (\sin 2x)^3 (\cos 3x)^2\,dx$$ Desde $(\sin 2x)^2=1-\cos 4x$ $(\cos 3x)^2=1+\cos 6x$ $$= \frac{1}{4}\int_{\pi/6}^{\pi/2}(\sen 2x)(1-\cos 4x)(1+\cos 6x)$$ Sustituto $u=2x$, $$=\frac{1}{8}\int_{\pi/3}^\pi(\sin u)(1-\cos 2u)(1+\cos 3u)\,du$$ El uso de la fórmula $\sin u=\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i}$$\cos u=\frac{e^{iu}+e^{-iu}}{2}$, $ $ a= \frac{1}{8}\int_{\pi/3}^\pi \frac{e^{ui}-e^{ui}}{2i}(1- \frac{e^{2iu}+e^{-2iu}}{2} )(1+\frac{e^{3iu}+e^{-3iu}}{2})du$$ Expanda, $$= \frac{1}{64i}\int_{\pi/3}^\pi( - (e^{6iu}-e^{-6iu})+3(e^{4iu}-e^{-4iu})-2(e^{3iu}-e^{-3iu})-3(e^{2iu}-e^{-2iu})+6(e^{iu}-e^{-iu}) )du$$ El uso de la fórmula $\sin u=\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i}$, vuelve a $\sin$ $$= \frac{1}{32}\int_{\pi/3}^\pi(-(\sin 6u)+3(\sin 4u)-2(\sin 3u)-3(\sin 2u)+6(\sin u))du$$ Hacer la integral, en total cinco partes, $$= \frac{1}{32}(\cos 6u/6-3\cos 4u/4+2\cos 3u/3+3\cos 2u/2-6\cos u)|_{\pi/3}^\pi$$ Calcular el valor de cada una de las cinco partes, $$= \frac{1}{32}(0-9/8+0+9/4+9)=\frac{3^4}{4^4}$$