Mi enfoque incorrecto resolver este límite. ¿Qué me falta?

Question

Estoy haciendo este límite:

$$-1/2\lim_{n\to\infty}\,{\frac {n\left( 2\,{{\rm e}^{2}} \left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}n-1-2\,n \right)}{n+1} } $$

Llegué a esto desde una expresión mayor, y llegué a este punto, según maple, el límite está correctamente hecho. El resultado (de nuevo, según maple) es $-1/2$ Así que $$\lim_{n\to\infty}\,{\frac {n\left( 2\,{{\rm e}^{2}} \left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}n-1-2\,n \right)}{n+1} }=1.$$

Pero lo he hecho varias veces, y he obtenido $-1$ cada vez. Aquí está uno de mis intentos:

$$\lim_{n\to\infty}\,{\frac {n\left( 2\,{{\rm e}^{2}} \left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}n-1-2\,n \right)}{n+1} }$$

Tenemos que

$$\,{{\rm e}^{2}} \left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}\to e^2e^{-2}=1$$

Así que $$\lim_{n\to\infty}\,{\frac {n\left( 2\,{{\rm e}^{2}} \left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}n-1-2\,n \right)}{n+1} }=\lim_{n\to\infty}\,{\frac {n\left( 2n-1-2\,n \right)}{n+1} }=\lim_{n\to\infty}\,{\frac {\left( -n \right)}{n+1} }=-1$$

Es obvio que estoy cometiendo un error en uno de esos pasos, pero no estoy siendo capaz de encontrar cuál es.

Edit: esto es de mi curso de análisis, así que no puedo usar Taylor para resolver este límite.

Answer 1

Antes de la edición

Creo que has ido demasiado rápido.

Considere $$A=\left( {\frac {n+1}{n}} \right) ^{-2\,n}$$ Entonces $$\log(A)=-2n\log(1+\frac 1 n)=-2n\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\cdots \Big)=-2+\frac{1}{n}+\cdots$$ Así que $$A=e^{-2}e^{1/n}=e^{-2}\Big(1+\frac{1}{n}+\cdots \Big)$$

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 2

Se puede demostrar esto desde los primeros principios. Pero hay que demostrarlo: $$\lim_{n \to \infty} n \left(e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right) = \frac{1}{2}e$$ Considera los términos de la expresión interna. Primer término:

$$e^1 = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + \dots$$

Segundo mandato:

\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n &= 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^3} + \cdots \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) + \cdots \end{align*}

Me estoy saltando algunos pasos, pero con una cuidadosa sustracción, se puede demostrar que:

\begin{align*} & n \left(e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right) \\ &= \frac{1}{2} (1 + 1/1! + + 1/2! + 1/3! + \dots) + O\left(\frac{1}{n}\right) \\ &\to \frac{1}{2}e \end{align*}

Ahora estamos preparados para probar el resultado real. Escribe: $$\frac {n\left( \frac{2e^2 n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}} - 1 - 2n \right)}{n+1} = \frac {\left( \left( \frac{2e^2 n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}} - 2n \right) - 1 \right)}{1+1/n} $$ lo que realmente nos preocupa es el paréntesis interior del numerador, ya que la otra parte y el denominador tienen límite finito. Escribe el paréntesis interior como $$n \left( \frac{2e^2 - 2 \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}\right)$$ de nuevo el denominador tiene un límite finito $e^2$ . Por lo tanto, céntrate sólo en el numerador: \begin{align*} &n \left( 2e^2 - 2 \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}\right) \\ &= 2 \left( e + \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right) \times n\left( e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right) \end{align*} la primera parte va a $4e$ y la segunda parte va a $e/2$ como hemos demostrado antes. Por lo tanto, la expresión anterior va a $2e^2$ y al conectarlo de nuevo obtenemos $1$ , QED.