Si $a+b+c+d = 2$ entonces $\frac{a^2}{(a^2+1)^2}+\frac{b^2}{(b^2+1)^2}+\frac{c^2}{(c^2+1)^2}+\frac{d^2}{(d^2+1)^2}\le \frac{16}{25}$

Question

Si $a+b+c+d = 2$ , demuestre que

$$\dfrac{a^2}{(a^2+1)^2}+\dfrac{b^2}{(b^2+1)^2}+\dfrac{c^2}{(c^2+1)^2}+\dfrac{d^2}{(d^2+1)^2}\le \dfrac{16}{25}$$

También $a,b,c,d \ge 0$ .

Answer 1

Supongamos que $0 \le a \le b \le c \le d$ con $a+b+c+d=2$ ,

Entonces $(48a-4)(a^2+1)^2-125a^2 = (2a-1)^2(12a^3+11a^2+32a - 4) \ge 0$ , para $a \ge \frac{1}{8}$ ;

(Ver que $32a-4 \ge 0$ y $12a^3+11a^2$ es positivo).

Es decir $\dfrac{a^2}{(a^2+1)^2} \le \dfrac{48a-4}{125}$ y de forma similar para $b,c,d$ y sumándolos tenemos $\sum\limits_{a,b,c,d} \dfrac{a^2}{(a^2+1)^2} \le \sum\limits_{a,b,c,d} \dfrac{48a-4}{125}=\dfrac{80}{125}=\dfrac{16}{25}$ .

El caso $a < \frac{1}{8}$ ,

Tenemos $(540x + 108)(x^2+1)^2 - 2197x^2 = (3x-2)^2(60x^3+92x^2+216x+27) \ge 0$ , para $x \ge 0$ .

Así, $\sum\limits_{x \in \{b,c,d\}} \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2} \le \sum\limits_{x \in \{b,c,d\}} \dfrac{540x+108}{2197}=\dfrac{108}{169}-\dfrac{540a}{2197}$

y, $\dfrac{a^2}{(a^2+1)^2} < a^2 < \dfrac{a}{8} < \dfrac{540a}{2197}$ .

Así que, $\sum\limits_{a,b,c,d} \dfrac{a^2}{(a^2+1)^2} \le \dfrac{108}{169} < \dfrac{16}{25}$

La igualdad se produce si $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$ .

Answer 2

Consideremos la función $$ \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{y^2}{(1+y^2)^2} + \frac{z^2}{(1+z^2)^2} + \frac{t^2}{(1+t^2)^2} + \lambda(x+y+z+t-2) $$ y escribir las condiciones de primer orden: $$ 0 = -\frac{2x(x^2-1)}{(1+x^2)^3} + \lambda, $$ y la misma ecuación para $y,z,t$ . En particular, $$ \frac{x(x^2-1)}{(1+x^2)^3} = \frac{y(y^2-1)}{(1+y^2)^3} = \frac{z(z^2-1)}{(1+z^2)^3} = \frac{t(t^2-1)}{(1+t^2)^3} $$

Al echar un vistazo a la variaciones de esta función,

vemos que si $x\neq y$ entonces $x,y < 1$ y $x,y,z,t\in \{u,v\}$ con

$$ \begin{cases} \frac{u(u^2-1)}{(1+u^2)^3} = \frac{v(v^2-1)}{(1+v^2)^3} \\ u+v=1\\ u<v. \end{cases} $$ Entonces un análisis demuestra que $(u,v) = (0,1)$ :

Finalmente, calcula los dos extremos potenciales: $$ \frac{1^2}{(1+1^2)^2} + \frac{1^2}{(1+1^2)^2}+0+0 =\frac 12;\\ \frac{(1/2)^2}{(1+(1/2)^2)^2} + \frac{(1/2)^2}{(1+(1/2)^2)^2}+ \frac{(1/2)^2}{(1+(1/2)^2)^2} + \frac{(1/2)^2}{(1+(1/2)^2)^2} = \frac {16}{25}. $$