respuesta de la unidad de paso de entrada en armónicamente sistema oscilante

Question

Como he entendido o mal entendido en coeficientes constantes de segundo orden de la ecuación diferencial $$\frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} +cy = ef(t)$$ $b$, $c$ ser constantes, $f(t)$ la entrada al sistema, $y$ siendo la respuesta del sistema.

Vamos, $$\frac{d^2y}{dt^2} +\omega_0^2y = u(t)k$$ tal que $k$ es distinto de cero de ser un sistema de e $u(t)$ una unidad de función de paso.

Cómo físicamente visualizar este sistema(o de entrada al sistema), no es la $u(t)$, como la aplicación de fuerza constante para el sistema? No llevar el sistema se detenga después de cierto tiempo? Como si seguimos hurgando un sistema de masa-resorte con constante de fuerza en una sola dirección??

Pero la solución parece diferente. Por favor me Ayude a borrar este simple concepto erróneo.

Gracias!!

Answer 1

Sí, después de tiempo $t = 0$, la función de paso de $ku(t)$ es como aplicar una fuerza constante $k$ para el sistema, pero no, no te va a llevar el sistema a un alto. De hecho, solo cambia la posición de equilibrio del sistema, pero el sistema seguirá oscilan alrededor de la nueva posición de equilibrio igual que antes. Ya que nosotros sólo nos preocupamos de $t \ge 0$, vamos a suponer que la fuerza es una constante $k$. Observar que si $\newcommand{\d}{\mathrm d}$ $$\frac{\d^2y}{\d t^2} + \omega^2y = k,$$ esto es equivalente a $$\frac{\d^2y}{\d t^2} + \omega^2\left(y - \frac k{\omega^2}\right) = 0,$$ y si dejamos $\tilde y = y - k/\omega^2$, obtiene la ecuación del oscilador armónico simple centrada en $0$, $$\frac{\d^2\tilde y}{\d t^2} + \omega^2\tilde y = 0.$$ Así, el sistema con una fuerza constante, se comporta exactamente igual que el no forzados del sistema, sólo se cambió por $k/\omega^2$.

Tal vez usted está imaginando la constante de fuerza para ser como la celebración de la oscilador y empujando a un lado. Pero cuando se hace eso en la vida real, usted puede también oponerse al movimiento relativo de la oscilador con respecto a tu lado, y eso es lo que amortigua el movimiento del sistema. Una fuerza constante no es así, sino que se sigue para empujar en una dirección, no importa si el oscilador está por encima o por debajo de su nuevo punto de equilibrio, no importa si se está moviendo hacia o lejos de él.

O simplemente pensar en una primavera que se celebró en un extremo, con un peso en el otro extremo de ser empujado hacia abajo por la gravedad. No es la fuerza gravitacional que hace que finalmente se llega a una parada, es la fricción en la primavera de sí mismo.