¿Cómo mostrar $\int_{0}^\infty e^{x^2}dx$ no converge?

Question

Para mostrar que $\int_0^\infty e^{x^2} \, dx$ no converge, puedo usar coordenadas polares y decir

$$\int_0^\infty \int_0^\infty e^{x^2+ y^2} \, dx \, dy = \int_0^\infty\int_0^{\pi/2} e^{r^2}r d\theta \, dr$$ $$ = \frac{\pi}{2}\int0^\infty e^{r^2}r \, dr= \lim{r \to \infty} \frac{\pi}{2}\bigg(\frac{e^{r^2}}{2} - \frac{1}{2} \bigg) = \infty$$

Así $\int_0^\infty e^{x^2} \, dx$ no converge.

¿Cuáles son algunas otras maneras de mostrarlo no converge?

Answer 1

$e^{x^2}\ge1$, que $\int_0^M e^{x^2}\,dx\ge M$.

Answer 2

Bueno, $e^{z^{2}}\geq 1$ $z\geq 0$% e integral $\int_{0}^{\infty}1dz=+\infty$.

Answer 3

Observe que \int{0}^{\infty $$} e ^ {x ^ 2} dx \ge \int{1}^{\infty} e ^ {x ^ {2}} dx\ge \int_{1}^{\infty} e ^ {x} dx = \infty $$ como se desee :)

Answer 4

La forma más fácil de observar esto observar me parece observar que $1 \leq e^{x^{2}}$ % todos $x$. Por lo tanto, $$\int{0}^{\infty} e^{x^{2}}dx \geq \int{0}^{\infty} 1 dx = \infty